Parasitisch getal

Een ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$-parasitisch getal^[1] (geschreven in het tientallig stelsel) is een positief geheel getal dat met het getal ${\displaystyle n\ (=2,3,...,9)}$ vermenigvuldigd wordt door het meest rechtse cijfer (dat de eenheden aangeeft) geheel naar links te verplaatsen (dus als eerste cijfer van het nieuwe getal te kiezen).

Voorbeelden

• ${\displaystyle 4\times 102564=410256}$; daarmee is ${\displaystyle 102564}$ een 4-parasitisch getal.
• ${\displaystyle 4\times 128205=512820}$; dan is ${\displaystyle 128205}$ ook een 4-parasitisch getal.
• ${\displaystyle 5\times 142857=714285}$; het getal ${\displaystyle 142857}$ is dus 5-parasitisch.

Anders gezegd. Een parasitisch getal ondergaat een cyclische permutatie van de cijfers met één plaats naar rechts:

${\displaystyle {\overrightarrow {102564}}\simeq 410256}$

Een bijkomende afspraak is dat een getal dat een voorloopnul heeft, zoals ${\displaystyle 025641}$, geen parasitisch getal is, hoewel toch:

${\displaystyle 4\times 025641=102564}$

Afleiding

Een parasitisch getal kan vaak worden berekend uitgaande van een cijfer ${\displaystyle k}$, met ${\displaystyle k\geq n}$, door herhaald met ${\displaystyle n}$ te vermenigvuldigen, waarbij dan telkens het eerste cijfer van de uitkomst wordt weggelaten en het cijfer ${\displaystyle k}$ op de plaats van de eenheden wordt gezet.

Voorbeeld met ${\displaystyle n=4,k=7}$

${\displaystyle {\begin{aligned}4\times 7=28\\4\times 87=348\\4\times 487=1948\\4\times 9487=37948\\4\times 79487=317948\\4\times 179487=717948\end{aligned}}}$

Hieruit blijkt dat ${\displaystyle 179487}$ een 4-parasitisch getal is.

Voorbeeld met ${\displaystyle n=4,k=4}$

${\displaystyle {\begin{aligned}4\times 4=16\\4\times 64=256\\4\times 564=2256\\4\times 2564=10256\end{aligned}}}$

Hier ontstaat als 'nieuw' getal ${\displaystyle 02564}$. Het is nu handig de voorloopnul te handhaven.

${\displaystyle {\begin{aligned}4\times 02564=010256\\4\times 102564=410256\end{aligned}}}$

En dit resulteert dan in het 4-parasitisch getal ${\displaystyle 102564}$.

Soms leidt het proces tot een getal dat gelijk is aan het voorgaande getal. Bijvoorbeeld met ${\displaystyle n=2,k=6}$ is:

${\displaystyle {\begin{aligned}&2\times 6=12\\&2\times 26=52\\&2\times 26=52\end{aligned}}}$

In dit geval kan het proces worden voortgezet met het getal ${\displaystyle 52}$; dus zonder het eerste cijfer te wissen.

${\displaystyle {\begin{aligned}&2\times 526=1052\\&2\times 0526=01052\\&2\times 010526=21052\\&2\times 210526=421052\\&2\times 4210526=8421052\\&...\\&2\times 315789473684210526=631578947368421052\end{aligned}}}$

Overigens, ${\displaystyle 315789473684210526}$ is niet het kleinste 2-parasitisch getal; zie de tabel hierna.

Opmerking. Met ${\displaystyle n=1}$ kunnen ook repdigits, zoals ${\displaystyle 11,22,111,222,}$ worden opgevat als 1-parasitische getallen.

Tabel voor n = 1, 2, ..., 9

Getallen met meer dan 30 cijfers zijn afgebroken en na het teken \\ op de volgende regel voortgezet.

n	kleinste n-parasitisch getal	aantal cijfers
1	1	1
2	105.263.157.894.736.842	18
3	1.034.482.758.620.689.655.172.413.793	28
4	102.564	6
5	142.857	6
6	1.016.949.152.542.372.881.355.932.203.389.\\ 830.508.474.576.271.186.440.677.966	58
7	1.014.492.753.623.188.405.797	22
8	1.012.658.227.848	13
9	10.112.359.550.561.797.752.808.988.764.044.\\ 943.820.224.719	44

Bovenstaande kleinste tientallig geschreven ${\displaystyle n}$-parasitische getallen^[2] worden ook Dyson-getallen genoemd, naar de Brits-Amerikaanse wiskundige Freeman Dyson (1923-2020), naar aanleiding van een puzzel die hij in april 2009 inzond naar de New York Times.^[3]

Clifford Pickover noemt in zijn boek Wonders of numbers parasitische getallen waarvan het laatste cijfer ongelijk is aan het getal waarmee vermenigvuldigd wordt, pseudoparasite numbers.^[4] In de tabel hierboven is dan 142857 pseudo 5-parasitisch.

Algemeen

In het bovenstaande blijkt dat ${\displaystyle 179487}$ een 4-parasitisch getal is. Natuurlijk zijn dan ook:

${\displaystyle 179487179487,179487179487179487,\dots }$

4-parasitisch.

Is verder ${\displaystyle x=0{,}179487179487\ldots =0{,}{\overline {179487}}}$, dan is:

${\displaystyle 4x=0{,}{\overline {717948}}={\tfrac {1}{10}}(7+0{,}{\overline {179487}})={\tfrac {1}{10}}(7+x)}$

zodat: ${\displaystyle x={\tfrac {7}{39}}}$.

Merk op dat de lengte ${\displaystyle m}$ van de periode van ${\displaystyle x}$ gelijk is aan ${\displaystyle 6}$ en dat nu ${\displaystyle {\tfrac {7}{39}}\times (10^{6}-1)=179487}$.

In het algemeen kan op deze manier een ${\displaystyle n}$-parasitisch getal worden berekend bij gegeven ${\displaystyle n,k}$ en daaruit berekende waarde van ${\displaystyle m}$. Het getal ${\displaystyle p}$ waarvoor:

${\displaystyle p=k\cdot {\frac {10^{m}-1}{10n-1}}}$

is dan ${\displaystyle n}$-parasitisch.

Voorbeeld met ${\displaystyle n=2,k=2}$ (met ${\displaystyle m=18}$):

${\displaystyle p=2\cdot {\frac {10^{18}-1}{10\cdot 2-1}}=105263157894736842}$

Zie ook

• (nl) Parasitic gap (parasitisch gat); dit is de naam van een bijzondere syntactische constructie in de taalkunde.

Bronnen, literatuur

• M. Looijen (2015): Over getallen gesproken. 's-Hertogenbosch: Van Haren Publishing; p. 302.
• C.A. Pickover (2001): Wonders of Numbers. Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. New York: Oxford University Press.
• (en) P. Yiu (2003): Repunits. In Recreational Mathematics. Boca Raton (USA): Department of Mathematics, Florida Atlantic University; hfdst. 18.

---

Noten

1. In overdrachtelijke betekenis: zo'n getal bestaat niet zonder een tweede getal.
2. Zie rij A092697 in OEIS.
3. (en) J. Tierney (2009): Freeman Dyson's 4th-Grade Math Puzzle. In New York Times, 13 apr. 2009.
4. [Pickover, 2001], p. 193-194, p. 346-347.