Rang (abelse groep)

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de rang van een abelse groep ${\displaystyle A}$ een maat voor de omvang van ${\displaystyle A}$. De rang van ${\displaystyle A}$ is gedefinieerd als de kardinaliteit van de grootste vrije abelse groep die in ${\displaystyle A}$ bevat is.

Voorbeelden en eigenschappen

• De rang van ${\displaystyle A}$ is gelijk aan de dimensie van het tensorproduct ${\displaystyle A\otimes \mathbb {Q} }$ als vectorruimte over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• De rang van ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ met ${\displaystyle n}$ een natuurlijk getal is gelijk aan ${\displaystyle n}$.
• De groep ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$ heeft de rang ${\displaystyle n}$.
• Een abelse groep ${\displaystyle A}$ is alleen dan een periodieke groep, als de rang van ${\displaystyle A}$ gelijk is aan 0.
• De rang is additief op korte exacte rijen, d.w.z. als

${\displaystyle 0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow G''\longrightarrow 0}$

een exacte rij van abelse groepen is, dan is de rang von ${\displaystyle A}$ gelijk aan de som van de rangen von ${\displaystyle A'}$ en ${\displaystyle A''}$.