Regulier priemgetal

In de getaltheorie is een regulier priemgetal een priemgetal ${\displaystyle p}$ dat het klassegetal van het ${\displaystyle p}$-de cyclotomische veld/lichaam niet deelt. Met het ${\displaystyle p}$-de cyclotomische veld wordt het algebraïsch getallenlichaam bedoeld dat wordt verkregen door aan de rationale getallen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ de ${\displaystyle p}$-eenheidswortel toe te voegen. Ernst Kummer toonde aan dat een equivalent criterium voor regulariteit is dat ${\displaystyle p}$ geen deler is van de teller van enige van de Bernoulligetallen ${\displaystyle B_{k}}$ voor ${\displaystyle k=2,4,6,\ldots ,p-3.}$

De eerste reguliere priemgetallen zijn:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …^[1].

Het vermoeden is geuit dat er oneindig veel reguliere priemgetallen zijn. Om precies te zijn heeft Siegel in 1964 gesteld dat 1/√e, of ongeveer 61%, van alle priemgetallen, regulier zijn, dit in de asymptotische analyse zin van een natuurlijke dichtheid. Geen van deze twee vermoedens is anno 2008 bewezen.

De eerste die reguliere priemgetallen in beschouwing nam, was Kummer. Hij slaagde erin te bewijzen dat de laatste stelling van Fermat waar is voor alle reguliere priemgetallen en de veelvouden daarvan.

Een oneven priemgetal dat niet regulier is, wordt een irregulier priemgetal genoemd. Het aantal van de Bernoulligetallen ${\displaystyle B_{k}}$ met een teller deelbaar door ${\displaystyle p}$ wordt de irregulariteits index van ${\displaystyle p}$ genoemd. K L Jensen heeft in 1915 bewezen dat er een oneindig aantal irreguliere priemgetallen bestaat. De eerste daarvan zijn:

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, …^[2].

Referenties

• (en) Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (Ned: Onopgeloste problemen in de getaltheorie) (3de editie), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section D2.
• (de) Carl Ludwig Siegel, Zu zwei Bemerkungen Kummers. (Ned: Over twee opmerkingen van Kummer) Nachr. Akad. d. Wiss. Goettingen, Math. Phys. K1., II, 1964, 51-62.

Zie ook

• Stelling van Herbrand-Ribet

Externe links

• (en) Chris Caldwell, The Prime Glossary: regular prime (Ned: Het Priemglossarium: regulier priemgetal) op de Priemgetal pagina's.

Bronnen, noten en/of referenties

1. rij A007703 in OEIS
2. rij A000928 in OEIS