Sommatieregel

In de getaltheorie is de sommatieregel of de stelling van Nicomachus de eigenschap dat de som van de eerste $n$ kubusgetallen gelijk is aan het kwadraat van het $n$ -de driehoeksgetal. Uitgedrukt in een formule:

\sum _{i=1}^{n}i^{3}={\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}i{\Bigr )}^{2}

Voorbeelden

$1^{3}+2^{3}=1+8=9=(1+2)^{2}$
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}=1+8+27+64=100=(1+2+3+4)^{2}$

Geschiedenis

Veel wiskundigen hebben in de loop der tijd deze identiteit bestudeerd en op allerlei manieren bewezen. Pengelley (2002) vindt referenties in meerdere oude wiskundige teksten: het werk van Nicomachus uit Gerasa (Jerash in het huidige Jordanië) in de eerste eeuw na Christus, van Aryabhata in India in de vijfde eeuw en van Al-Karaji rond het jaar 1000 in Perzië. Bressoud (2004) noemt nog meer vroeg werk aan deze formules, in het bijzonder door Alchabitius (10e eeuw, Arabië), Gersonides (rond 1300, Frankrijk) en Nilakantha Somayaji (rond 1500, India). Hij heeft Nilakantha's visuele bewijs gereproduceerd.

Numerieke waardes, meetkundige interpretaties

De eerste veertien termen van de rij van gekwadrateerde driehoeksgetallen zijn:

0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281

Deze getallen kunnen worden opgevat als figuratieve getallen: een vier-dimensionale, hyperpyramidale generalisatie van de driehoeksgetallen en kwadratische pyramidegetallen.

Stein heeft in 1971 opgemerkt dat deze getallen gelijk zijn aan het aantal rechtopstaande rechthoeken die passen in een n×n vierkant rooster. Bijvoorbeeld, de punten in een rooster van 4×4 kunnen 36 verschillende rechthoeken vormen. Op eenzelfde manier is het aantal vierkanten in het rooster gelijk aan het kwadratische pyramidegetal.

Bewijzen

Wheatstone (1854) geeft een bijzonder eenvoudige afleiding door elk kubusgetal in de som uit te schrijven tot een aantal opvolgende getallen:

1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ...

= (1) + (3 + 5) + (7 + 9 + 11) + (13 + 15 + 17 + 19) + (21 + 23 + 25 + 27 + 29) + ...

= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 ...

De som van elke rij opeenvolgende oneven getallen vanaf 1 is een kwadraat, en wel precies het kwadraat van het aantal oneven getallen waarover gesommeerd wordt. Dat laatste is te zien als een som van de vorm 1+2+3+4+...+n.

In meer recente wiskundige literatuur gebruikt Stein in 1971 de rechthoek-tel interpretatie van deze getallen voor een meetkundig bewijs (zie Benjamin et al.). Hij laat zien dat het ook makkelijk te bewijzen is door inductie - wat geen nieuwe inzichten oplevert - en stelt dat Toeplitz (1963) een interessant oud-Arabische bewijs heeft. Kanim (2004) geeft een volledig visueel bewijs, Benjamin en Orrison (2002) geven er nog twee, en Nelsen (1993) geeft zeven meetkundige bewijzen.

Generalisaties

Een gelijkaardig resultaat betreft alle sommen van machten: alle sommen van oneven machten zijn gelijk aan een polynoom van driehoeksgetallen. Deze worden Faulhaberpolynomen genoemd. De sommatieregel is het meest simpele en meest elegante voorbeeld van zo'n polynoom.

Meer resultaten zijn te vinden in het werk van Stroeker (1995), Garrett en Hummel (2004), en Warnaar (2004).

Referenties

Benjamin, Arthur T.; Orrison, M. E. (2002). Two quick combinatorial proofs of $\scriptstyle \sum k^{3}={n+1 \choose 2}^{2}$ . The College Mathematics Journal 33 (5): 406–408.
Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer L.; Wurtz, Calyssa (2006). Summing cubes by counting rectangles. The College Mathematics Journal 37 (5): 387–389. ISSN: 0746-8342. DOI: 10.2307/27646391.
Bressoud, David (2004). Calculus before Newton and Leibniz, Part III (AP Central).
Garrett, Kristina C.; Hummel, Kristen (2004). A combinatorial proof of the sum of q-cubes. Electronic Journal of Combinatorics 11 (1): Research Paper 9.
Kanim, Katherine (2004). Proofs without Words: The Sum of Cubes—An Extension of Archimedes' Sum of Squares. Mathematics Magazine 77 (4): 298–299. DOI: 10.2307/3219288.
Nelsen, Roger B. (1993). Proofs without Words. Cambridge University Press. ISBN 978-0-88385-700-7.
Pengelley, David (2002). The bridge between continuous and discrete via original sources (National Center for Mathematics Education, Univ. of Gothenburg, Sweden).
Stein, Robert G. (1971). A combinatorial proof that $\scriptstyle \sum k^{3}=(\sum k)^{2}$ . Mathematics Magazine 44 (3): 161–162 (Mathematical Association of America). DOI: 10.2307/2688231.
Stroeker, R. J. (1995). On the sum of consecutive cubes being a perfect square. Compositio Mathematica 97 (1–2): 295–307.
Toeplitz, Otto (1963). The Calculus, a Genetic Approach. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-80667-9.
Warnaar, S. Ole (2004). On the q-analogue of the sum of cubes. Electronic Journal of Combinatorics 11 (1): Note 13.
Wheatstone, C. (1854). On the formation of powers from arithmetical progressions. Proceedings of the Royal Society of London 7: 145–151. DOI: 10.1098/rspl.1854.0036.