Viergradiënt

Het begrip viergradiënt komt voor in de speciale relativiteitstheorie, en is de veralgemening van de gewoonlijke notie van gradiënt naar een viervector. Het is een natuurlijk object indien men afgeleides neemt van functies of tensoren die gedefinieerd zijn op de Minkowski-ruimte. In algemene relativiteitstheorie, waar het domein van functies een meer algemene, gekromde ruimte kan zijn, kan de viergradiënt verder veralgemeend worden naar de covariante- of Lie-afgeleide.

Definitie

Het viergradiënt is gedefinieerd als

${\displaystyle \partial _{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)}$,

en is een covariante tensor. Op de gebruikelijke manier (door met de metriek de index omhoog te halen) kan men een contravariante versie van de viergradiënt definiëren. Indien men werkt met de mostly plus-conventie (= - + + +), is deze gegeven door

${\displaystyle \partial ^{\mu }=\left(-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)}$,

Soms wordt de viergradiënt genoteerd als D. Het kwadraat van deze operator wordt gedefinieerd als

${\displaystyle D\cdot D=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}}$.

en is gelijk aan de d'Alembertiaan. Indien men werkt in natuurlijke eenheden, is de numerieke waarde van de lichtsnelheid gelijk aan 1, en is de viergradiënt dus gewoon ${\displaystyle \partial _{\mu }=({\frac {\partial }{\partial t}},\nabla )}$.

Zie ook

• D'Alembertiaan
• Gradiënt
• Speciale relativiteitstheorie
• Covariante afgeleide

Referenties en externe links

• (en) R. d'Inverno, Introducing Einstein's Relativity, Oxford University Press, ISBN 0198596863, pagina's 64-65 gaan over de viergradiënt en vectorvelden.
• (en) J.D. Jackson, "Classical Electrodynamics" Hoofdstuk 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X
• (nl) Transformatieregels van de viergradiënt (en covariante vectoren in het algemeen), zie pagina 54 onder.