Algebraiczne równanie Riccatiego

Algebraiczne równanie Riccatiego – jedno z następujących równań macierzowych:

• algebraiczne równanie Riccatiego czasu ciągłego:

${\displaystyle A^{T}X+XA-XBR^{-1}B^{T}X+Q=0}$

• algebraiczne równanie Riccatiego czasu dyskretnego:

${\displaystyle X=A^{T}XA-(A^{T}XB)(R+B^{T}XB)^{-1}(B^{T}XA)+Q}$

gdzie ${\displaystyle X}$ jest nieznaną macierzą symetryczną ${\displaystyle n\times n,}$ a ${\displaystyle A,B,Q,R}$ są znanymi rzeczywistymi macierzami współczynników.

Nazwę równanie Riccatiego nadano algebraicznemu równaniu Riccatiego czasu ciągłego przez analogię do równanie różniczkowego Riccatiego. Zmienna nieznana pojawia się liniowo i w wyrażeniu kwadratowym (nie występują tu wyrażenia wyższych rzędów). Algebraiczne równanie Riccatiego czasu dyskretnego pojawia się w miejscu algebraicznego równania Riccatiego czasu ciągłego przy badaniu układów dyskretnych i nie jest w oczywisty sposób związane z równaniem różniczkowym Riccatiego, które badał Jacopo Riccati.

Algebraiczne równanie Riccatiego określa rozwiązanie dla dwóch najbardziej fundamentalnych problemów teorii sterowania:

• stacjonarnego regulatora liniowo-kwadratowego (LQR) z nieskończonym horyzontem,
• stacjonarnego regulatora liniowo-kwadratowego-Gaussa (LQG) z nieskończonym horyzontem.

Rozwiązanie algebraicznego równania Riccatiego otrzymać można poprzez rozkład macierzy na czynniki albo przez iterację równania Riccatiego.

Algorytm rozwiązywania równania Riccatiego

Przy założeniu stabilizowalności pary ${\displaystyle (A;B)}$ oraz wykrywalności pary ${\displaystyle (Q;A)}$ algebraiczne równanie Riccatiego ma dokładnie jedno rozwiązanie w klasie macierzy symetrycznych półokreślonych dodatnio. Stosując do rozwiązania algebraicznego równania Riccatiego iteracyjną metodę Newtona, otrzymuje się następujący algorytm wyznaczania macierzy ${\displaystyle X.}$

Macierz ${\displaystyle X}$ jest granicą ciągu ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }~V_{n},}$ przy czym:

${\displaystyle 0\leqslant X\leqslant V_{n+1}\leqslant V_{n}\leqslant V_{0},}$

gdzie ${\displaystyle V_{k}}$ jest jedynym rozwiązaniem równania Lapunowa o postaci:

${\displaystyle {A_{n}}^{T}V_{n}+V_{n}A_{n}+Q+L_{n}RL_{n}=0,}$

gdzie:

${\displaystyle n=1,2,3,4,...,}$

${\displaystyle L_{n}=-R^{-1}B^{T}V_{n-1},}$

${\displaystyle A_{k}=A+BL_{n}}$

${\displaystyle L_{0}}$ jest tak wybrane, by części rzeczywiste wartości własnych macierzy ${\displaystyle A_{n}=A+BL_{0}}$ były ujemne. Zbieżność ${\displaystyle V_{k}}$ do ${\displaystyle X}$ jest kwadratowa, czyli istnieje stała ${\displaystyle c>0,}$ taka że:

${\displaystyle ||V_{n+1}-X||\leqslant c||V_{n}-X||^{2},\ n=0,1,2,3,....}$

Macierz ${\displaystyle L_{0}}$ może być wyznaczona za pomocą odpowiednich twierdzeń.

Powyższy algorytm podał Kleinman w 1968 roku^[1]. A sposób wyznaczania macierzy ${\displaystyle L_{0}}$ zaproponował Sandell w 1974 roku^[2].

Zobacz też

• równanie Lapunowa
• równanie Sylvestera

Przypisy

1. D.L. Kleinman: On an iterative technique for Riccati equation computations, IEEE Trans. Automat. Control, Vol. AC-13, No. 1. 1968, s. 114–115.
2. N.R. Sandell: On Newton’s method for Riccati equation solution, IEEE Trans. Automat. Control, Vol. AC-19, No. 3. 1974, s. 254–255.