Østbø rozpoczął karierę juniorską w Buøy IL. Później trafił do Viking FK. Grał w tym klubie co najmniej od 2005[1]. Do pierwszej drużyny tego zespołu został włączony w 2008, a zadebiutował w tym samym roku w meczu Pucharu Norwegii[2]. W lidze zadebiutował w październiku 2010 w meczu z Strømsgodset IF[3]. W latach 2009–2010 przebywał na wypożyczeniu w Sandnes Ulf, które skończyło się po kupieniu Bo Andersena[4].
Przed sezonem 2013 podstawowy bramkarz Vikingu Rune Jarstein chciał wyjechać za granicę. Nie znalazł jednak klubu, więc Østbø został wystawiony na listę transferową do wypożyczenia[8]. 22 lutego 2013 został wypożyczony do końca sezonu do Strømmen IF[9][10][11]. Po zakończeniu okresu wypożyczenia był gotowy do powrotu do Vikingu jako następca Jarsteina[12].
Od 2010 gra w reprezentacji U-21. W maju 2013 znalazł się w szerokiej kadrze na mistrzostwa Europy do lat 21 2013[15]. Dwa tygodnie później ogłoszono, że Østbø jest w grupie 23 zawodników, którzy ostatecznie wybiorą się na mistrzostwa[16]. Zagrał w jednym meczu tej imprezy – w zremisowanym 1:1 spotkaniu z Włochami[17] i zdobył brązowy medal[18].