Filtracja (matematyka)

Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia terminu „filtracja”.

Definicja intuicyjna

Filtracja w matematyce to uporządkowany zestaw obiektów, w którym kolejne obiekty zawierają w sobie poprzednie

Filtracja – rodzina podstruktur (np. podzbiorów, podciągów, podgrup itp.) pewnej ustalonej struktury (zbioru, ciągu, grupy, itd.), indeksowana z wykorzystaniem uporządkowanego liniowo zbioru indeksów, w której podstruktury o dalszych (większych) indeksach zawierają te o wcześniejszych (mniejszych)^[1][2].

Ścisła definicja zależy od kontekstu i dziedziny matematyki, w której pojęcie to jest rozważane; zawsze jednak podstruktury tworzą łańcuch. Pojęcie filtracji znajduje zastosowanie między innymi w teorii miary i teorii prawdopodobieństwa^[3] oraz w algebrze (topologii algebraicznej)^[2].

Niekiedy rozszerza się pojęcie filtracji na filtracje nierosnące, o odwrotnym kierunku, to znaczy takie, w których podstruktury o dalszych (większych) indeksach są zawarte w tych o wcześniejszych (mniejszych) indeksach. W takiej sytuacji filtracja zdefiniowana w pierwszym akapicie nazywana jest niemalejącą^[4].

Za przykład niemalejącej filtracji może posłużyć rodzina ciągów Fareya, w której ciąg rzędu ${\displaystyle k}$ zawiera wszystkie elementy ciągu ${\displaystyle k-1}$^[5][6]:

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}=\left({\frac {0}{1}},{\frac {1}{1}}\right)}$;

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}=\left({\frac {0}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {1}{1}}\right)}$;

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{3}=\left({\frac {0}{1}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {1}{1}}\right)}$;

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{4}=\left({\frac {0}{1}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{1}}\right)}$;

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{5}=\left({\frac {0}{1}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{5}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{5}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}},{\frac {1}{1}}\right)}$; ...

Probabilistyka

Przedstawione definicje wykorzystywane w rachunku prawdopodobieństwa, wykorzystując pojęcia teorii miary, uogólniają się mutatis mutandis na przestrzenie mierzalne/z miarą.

Niech ${\displaystyle T}$ oznacza pewien uporządkowany liniowo zbiór indeksów (zwykle przedział ${\displaystyle [0,\infty ]}$), w tym wypadku interpretowany zwykle jako czas. Filtracją przestrzeni probabilistycznej ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ nazywa się niemalejącą rodzinę σ-ciał ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$ zawartą w ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ tzn.

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq F_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}$ dla ${\displaystyle s\leqslant t}$ oraz ${\displaystyle s,t\in T.}$

Zdarzenia z σ-ciała ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ można interpretować jako zdarzenia obserwowalne do chwili ${\displaystyle t}$ przy czym, zgodnie z intuicją, dostępna wiedza rośnie z czasem (informacje w niej zawarte nie ulegają zmianie, ale stają się jedynie bardziej szczegółowe).

Jeśli ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$ jest procesem stochastycznym, to filtracją generowaną przez ${\displaystyle X}$^[a] nazywa się rodzinę ${\displaystyle \left({\mathcal {F}}_{t}^{X}\right)_{t\in T}}$ daną wzorem

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{X}=\sigma (X_{s}\colon s\leqslant t),}$

tzn. σ-ciało odpowiadające chwili ${\displaystyle t}$ jest generowane przez zdarzenia do chwili ${\displaystyle t}$ włącznie. Intuicyjnie filtracja zawiera wyłącznie informacje o samym procesie.

Proces ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$ jest zgodny z filtracją lub adaptowany do filtracji ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$^[b], gdy dla wszystkich ${\displaystyle t\in T}$ zmienna losowa ${\displaystyle X_{t}}$ jest mierzalna względem ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}.}$ Sam proces ${\displaystyle X}$ jest zgodny z ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{X}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}}$ dla ${\displaystyle t\in T.}$ Oznacza to, że proces jest zgodny z filtracją, gdy w danym momencie zawiera ona wszystkie informacje o przebiegu procesu (choć może zawierać też dodatkowe). W szczególności każdy proces jest zgodny z generowaną przez siebie filtracją.

Niech ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t+}:=\bigcap \nolimits _{s>t}{\mathcal {F}}_{s}.}$ Filtracja ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ spełnia warunki zwykłe, gdy jest

• prawostronnie ciągła: dla każdego ${\displaystyle t\in T}$ zachodzi równość ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}={\mathcal {F}}_{t+}}$

oraz

• zupełna: dla dowolnego ${\displaystyle t\in T}$ przestrzeń probabilistyczna ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} )}$ jest zupełna, tj. prawdopodobieństwo ${\displaystyle \mathbb {P} }$ jest miarą zupełną w ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{t})}$^[c].

Algebra

 Zobacz też: ciągi podgrup i flagi podprzestrzeni liniowych.

Filtracją grupy ${\displaystyle G}$ nazywa się niemalejący (względem zawierania) ciąg jej podgrup, tzn.

${\displaystyle G_{i+1}\leqslant G_{i}\qquad (i\in I\subseteq \mathbb {N} ),}$

zwykle nazywa się ją ciągiem podgrup tej grupy. Jeśli każda podgrupa jest normalna w kolejnej,

${\displaystyle G_{i+1}\trianglelefteq G_{i}\qquad (i\in I\subseteq \mathbb {N} ),}$

to ciąg nazywa się ciągiem normalnym (podobnie gdy każda podgrupa jest charakterystyczna w kolejnej ciąg nazywa się charakterystycznym itd.). Najczęściej wymaga się jednak, by wszystkie były normalne w grupie ${\displaystyle G,}$ tj.

${\displaystyle G_{i}\trianglelefteq G\qquad (i\in I\subseteq \mathbb {N} ),}$

mówi się wtedy o ciągu podnormalnym podgrup grupy ${\displaystyle G.}$

Definicje te przenoszą się wprost na pierścienie (ciała), moduły, czy przestrzenie liniowe; w ostatnim przypadku filtracje znane są szerzej jako flagi, w pozostałych rozpatruje się również filtracje niemalejące (przytoczone definicje dla grup są przykładami filtracji nierosnących).

Uwagi

1. W nomenklaturze anglojęzycznej znana jest jako filtracja naturalna względem ${\displaystyle X.}$
2. W pozycjach anglojęzycznych mówi się też o procesach nieantycypujących (nieprzewidujących).
3. Tzn. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ zawiera wszystkie zdarzenia niemożliwe (zbiory miary zero), czyli ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{t}}$ dla wszystkich zbiorów ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}$ dla których ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=0.}$

Przypisy

1. Filtration, [w:] GuidoG. Walz GuidoG. (red.), Lexikon der Mathematik, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8  (niem.). Brak numerów stron w książce
2. Homological algebra, [w:] KiyoshiK. Itō KiyoshiK. (red.), Encyclopedic dictionary of mathematics, wyd. 2nd ed. [transl. from the 3rd japanese ed.], Cambridge (Mass.) London: MIT press, 1993, ISBN 978-0-262-59020-4 [dostęp 2024-09-07] . Brak numerów stron w książce
3. GeorgeG. Lowther GeorgeG., Filtrations and Adapted Processes [online], Almost Sure, 8 listopada 2009 [dostęp 2024-09-07]  (ang.).
4. Filtered algebra, [w:] MichielM. Hazewinkel MichielM. (red.), Encyclopaedia of mathematics: an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia", Dordrecht ; Boston : Norwell, MA, U.S.A: Reidel ; Sold and distributed in the U.S.A. and Canada by Kluwer Academic Publishers, 1988, ISBN 978-1-55608-010-4 [dostęp 2024-09-07] . Brak numerów stron w książce
5. JakubJ. Pawlewicz JakubJ., Ciągi Fareya, „Delta”, maj 2010 [dostęp 2024-09-04]  (pol.).
6. Florin P.F.P. Boca Florin P.F.P., AlexandruA. Zaharescu AlexandruA., Farey fractions and two-dimensional tori, CaterinaC. Consani, MatildeM. Marcolli (red.), Wiesbaden: Vieweg, 2006, s. 57–77, DOI: 10.1007/978-3-8348-0352-8_3, ISBN 978-3-8348-0170-8 [dostęp 2024-09-04]  (ang.).