Funkcja dodatnio określona

Funkcja dodatnio określona – jest to funkcja dwu zmiennych ${\displaystyle K\colon X\times X\to \mathbb {C} ,}$ działająca w ciało liczb zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ spełniająca własność:

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \ \forall x_{1},x_{2},...,x_{n}\in X\ \forall a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}~a_{i}\cdot K(x_{i},x_{j})\cdot {\overline {a}}_{j}>0,}$

gdzie ${\displaystyle {\overline {a}}}$ jest sprzężeniem liczby ${\displaystyle a.}$

Związek z iloczynem skalarnym

Twierdzenie Kołmogorowa:

Niech ${\displaystyle K\colon X\times X\to \mathbb {C} }$ będzie funkcją dodatnio określoną. Wtedy istnieje jedyne przekształcenie ${\displaystyle a\colon X\to H,}$ takie że:

• ${\displaystyle H}$ jest przestrzenią Hilberta,
• ${\displaystyle \langle a(x)|a(y)\rangle =K(x,y),}$ gdzie ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ jest iloczynem skalarnym w ${\displaystyle H,}$
• ${\displaystyle \mathrm {span} \{a(x)\colon x\in X\}}$ jest gęsty w ${\displaystyle H.}$