Graniczna liczba porządkowa

Graniczna liczba porządkowa – liczba porządkowa, która nie jest następnikiem innej liczby porządkowej. Bardziej precyzyjnie liczba porządkowa ${\displaystyle \lambda }$ jest graniczną liczbą porządkową wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej innej liczby porządkowej ${\displaystyle \alpha <\lambda }$ zachodzi ${\displaystyle \alpha +1<\lambda .}$

Liczba porządkowa jest graniczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa sumie (teoriomnogościowej) swoich elementów (w przeciwnym wypadku suma ta jest poprzednikiem). Liczba 0 również spełnia definicję liczby granicznej, jednak czasem ze względów technicznych matematycy nie zaliczają jej do ich grona.

Przykłady

• Żadna skończona liczba porządkowa (liczba naturalna) większa niż 0 nie jest graniczna.
• ${\displaystyle \omega }$ jest liczbą porządkową graniczną – istnienie tej liczby gwarantuje aksjomat nieskończoności.
• Istnieje nieprzeliczalnie wiele przeliczalnych liczb porządkowych granicznych.
• Każda liczba epsilonowa jest graniczna.
• ${\displaystyle \omega _{1}=\mathbb {H} (\omega ),}$ gdzie ${\displaystyle \mathbb {H} }$ oznacza wartość funkcji Hartogsa na zbiorze ${\displaystyle \omega ,}$ jest najmniejszą nieprzeliczalną liczbą porządkową, będącą jednocześnie liczbą graniczną.
• Każda liczba kardynalna jest liczbą porządkową graniczną.

Przykładami porządkowych liczb granicznych są:

${\displaystyle 0,\omega ,\omega +\omega ,\dots ,\omega \cdot n,\dots ,\omega ^{2},\dots ,\omega ^{m},\dots ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\dots ,\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\ldots }}},\dots .}$

gdzie ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle m}$ są dowolnymi liczbami naturalnymi.

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007. Brak numerów stron w książce
• Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965. Brak numerów stron w książce