W grupie jako podgrupie grupy multiplikatywnej ciała działaniem jest zwykłe mnożenie liczb zespolonych, a elementem neutralnym jest Grupa okręgu w naturalny sposób daje się utożsamić z grupą obrotówpłaszczyzny wokół ustalonego punktu, zwykle początku, z działaniem ich składania. Grupa ta pełni istotną rolę w teorii grup Liego.
Grupa okręgu jest izomorficzna (jako grupa topologiczna) z grupą ilorazową
Dowód. Odwzorowanie dane wzorem jest ciągłym, suriektywnym homomorfizmem grup, którego jądrem jest Podgrupa grupy jest domknięta, a zatem z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie dla grup topologicznych, odwzorowanie dane wzorem gdzie jest homeomorficznym izomorfizmem grup.
Dualność Pontriagina pomiędzy grupą okręgu a grupą liczb całkowitych[edytuj | edytuj kod]
Grupa okręgu jest zwarta, więc grupa dualna do złożona z ciągłych homomorfizmów do jest dyskretna. Co więcej
a zatem z dualności Pontriagina także
Powyższe twierdzenie jest jednym z podstawowych faktów w analizie harmonicznej. Można je udowodnić w oparciu o twierdzenie orzekające, że każdy ciągły homomorfizm jest postaci
dla pewnej liczby rzeczywistej Wynika stąd, że każdy ciągły homomorfizm jest postaci dla pewnego W szczególności, grupa dualna do jest izomorficzna z
Dowód. Ponieważ istnieje izomorfizm grup topologicznych wystarczy zatem rozważać ciągłe homomorfizmy z do
Niech będzie ciągłym homomorfizmem oraz niech będzie jego podniesieniem do tj. Wówczas dla pewnego W szczególności, gdy to skąd musi być liczbą całkowitą, co kończy dowód.