Iloraz różnicowy

Iloraz różnicowy – wielkość opisująca przyrost funkcji na danym przedziale.

Definicja

Niech ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ i ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X.}$ Wtedy ilorazem różnicowym nazywamy iloraz^[1]:

${\displaystyle {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Jeżeli nie prowadzi to do niejasności stosujemy też oznaczenie ${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}},}$ gdzie ${\displaystyle \Delta f}$ oznacza licznik, zaś ${\displaystyle \Delta x}$ – mianownik powyższego ułamka.

Przykład

Dla funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{3}}$ i punktów ${\displaystyle x_{1}=0,x_{2}=1}$ ich iloraz różnicowy wynosi:

${\displaystyle {\frac {1^{3}-0^{3}}{1-0}}=1.}$

Rysunek przedstawia interpretację geometryczną ilorazu różnicowego dla dwóch punktów ${\displaystyle x_{1},x_{2}.}$ Prostą ${\displaystyle PQ}$ nazywa się sieczną lub cięciwą.

Uwaga

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\Delta f}{\Delta x}}}$

wyłącznie w prostokątnym układzie współrzędnych o równych jednostkach na obu osiach.

Jeżeli ${\displaystyle f}$ określa zmianę drogi ciała w czasie, to iloraz różnicowy funkcji ${\displaystyle f}$ w dla punktów ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ określa średnią prędkość ciała w czasie od ${\displaystyle x_{1}}$ do ${\displaystyle x_{2}.}$

Związek z pochodną

 Osobny artykuł: pochodna.

Pochodna funkcji jednej zmiennej w punkcie x₀ jest definiowana jako następująca granica ilorazu różnicowego:

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.}$

Uogólnienia

Ilorazem różnicowym ${\displaystyle N}$-tego rzędu funkcji ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ w punktach ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{N}\in X}$ nazywamy funkcję

${\displaystyle f[x_{0},x_{1},\dots ,x_{N}]:=\sum \limits _{i=0}^{N}~{\frac {f(x_{i})}{\prod \limits _{j=0 \atop j\neq i}^{N}(x_{i}-x_{j})}}.}$

Prawdziwy jest związek rekurencyjny:

${\displaystyle {\begin{cases}f[x_{i}]=f(x_{i})\quad (0\leqslant i\leqslant N)\\f[x_{k},x_{k+1},\dots ,x_{k+m}]={\frac {f[x_{k+1},x_{k+2},\dots ,x_{k+m}]-f[x_{k},x_{k+1},\dots ,x_{k+m-1}]}{x_{k+m}-x_{k}}}\quad (0\leqslant k<k+m\leqslant n)\end{cases}}.}$

Przypisy

1. iloraz różnicowy, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-06-18] .

Kontrola autorytatywna (stosunek):

• GND: 4149799-5

Encyklopedie internetowe:

• PWN: 3914180
• Britannica: topic/difference-quotient
• Treccani: rapporto-incrementale