Krakowian

Krakowian – tablica zastępująca macierz w obliczeniach ręcznych zaproponowana przez Tadeusza Banachiewicza. Ma inaczej zdefiniowane mnożenie, w krakowianach mnoży się przez siebie kolumny, dzięki temu do wykrywania błędów obliczeń można stosować sumy kontrolne. Zastosowanie krakowianów upraszcza wiele wzorów i obliczeń numerycznych^[1].

Wygodny przy obliczeniach ręcznych i korzystaniu z pamięci sekwencyjnej komputerów. Właściwość tę wykorzystywał wczesny komputer PARK z 1957 r.

Iloczyn krakowianów

Główna różnica w stosunku do macierzy polega na tym, że wyznaczając ich iloczyn, mnoży się kolumny przez kolumny^[2] (w macierzach mnoży się wiersze przez kolumny^[3]). Iloczynem następujących krakowianów^[a]:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{p,1}\\a_{1,2}&\cdots &a_{p,2}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,m}&\cdots &a_{p,m}\end{Bmatrix}}}$   i   ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}b_{1,1}&\cdots &b_{n,1}\\b_{1,2}&\cdots &b_{n,2}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{1,m}&\cdots &b_{n,m}\end{Bmatrix}}}$

mających tę samą liczbę wierszy jest krakowian^[2]

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}c_{1,1}&\cdots &c_{p,1}\\c_{1,2}&\cdots &c_{p,2}\\\vdots &\ddots &\vdots \\c_{1,n}&\cdots &c_{p,n}\end{Bmatrix}}}$

gdzie:

${\displaystyle c_{l,k}=a_{l,1}b_{k,1}+a_{l,2}b_{k,2}+\cdots +a_{l,m}b_{k,m}.}$

Przykładowo:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}a&b\\c&d\end{Bmatrix}}\cdot {\begin{Bmatrix}e&f\\g&h\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}ae+cg&be+dg\\af+ch&bf+dh\end{Bmatrix}}}$

Mnożenie krakowianów^[2]:

• nie jest przemienne, czyli ${\displaystyle AB\neq BA,}$
• nie jest łączne, czyli ${\displaystyle A(BC)\neq (AB)C.}$

Uwagi

1. Indeksy w krakowianach mają układ [kolumna],[wiersz], odwrotnie niż w macierzach, gdzie stosuje się układ [wiersz],[kolumna]^[1][3]. Można jednak spotkać indeksowanie takie samo jak w macierzach^[2].

Przypisy

Zobacz hasło krakowian w Wikisłowniku

1. JanJ. Koroński JanJ., RenataR. Bujakiewicz-Korońska RenataR., Matematyczne idee Tadeusza Banachiewicza w kontekście ich zastosowań, „Czasopismo Techniczne”, 107 (1), seria Nauki Podstawowe, 2010, s. 16-17 [dostęp 2023-11-08] .
2. Macierze. §7. Krakowiany, [w:] WacławW. Sierpiński WacławW., AndrzejA. Mostowski AndrzejA., Zasady algebry wyższej, seria Monografie Matematyczne, tom 11, Warszawa – Wrocław: Instytut Matematyczny PAN, 1946, s. 76-80, OCLC 887720 [dostęp 2023-11-08] .
3. krakowian, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-11-08] .

Encyklopedie internetowe (pojęcie matematyczne):

• PWN: 3926974