Kąt równoległości

Kąt równoległości odpowiadający odległości ${\displaystyle a}$ – w geometrii hiperbolicznej kąt między prostopadłą, wyprowadzoną z punktu ${\displaystyle A}$ znajdującego się w odległości ${\displaystyle d}$ od prostej ${\displaystyle p,}$ a promieniem ${\displaystyle r}$ równoległym^[1] do prostej ${\displaystyle p}$ wyprowadzonym z punktu ${\displaystyle A.}$ Kąt równoległości nazywany jest także kątem Łobaczewskiego i oznaczany jest przez ${\displaystyle \Pi (d)}$^[2].

Istnieje taka stała ${\displaystyle R}$ zależna od skali odległości w przestrzeni hiperbolicznej, że jeśli ${\displaystyle d}$ jest odległością punktu ${\displaystyle A}$ od prostej ${\displaystyle p,}$ to:

${\displaystyle \Pi (d)=2\operatorname {arctg} \,e^{-{\frac {d}{R}}}}$^[3].

Dwa kąty Łobaczewskiego wyprowadzone z punktu ${\displaystyle A;}$ promienie równoległe do prostej (kolor niebieski) zaznaczono kolorem purpurowym, a odcinek prostopadły – kolorem zielonym.

Jeśli ${\displaystyle B}$ jest takim punktem prostej ${\displaystyle p,}$ że odcinek ${\displaystyle AB}$ jest prostopadły do ${\displaystyle p,}$ to możemy napisać:

${\displaystyle \Pi (AB)=\measuredangle BAM_{\infty }=\measuredangle N_{\infty }AB,}$

gdzie punkty ${\displaystyle M_{\infty }}$ i ${\displaystyle N_{\infty }}$ są punktami w nieskończoności.

Kąty Łobaczewskiego w modelu Poincarégo oznaczone purpurową literą α.

Własności

• Wzór na kąt równoległości można też zapisać następująco:

${\displaystyle \operatorname {tgh} \,{\frac {d}{R}}=\cos \Pi \,(d).}$

Wystarczy w tym celu do wzoru

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}$

podstawić ${\displaystyle \alpha =\Pi (d),}$ a następnie skorzystać ze wzoru

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\Pi (d)}{2}}=e^{-{\frac {d}{R}}}}$

oraz licznik i mianownik powstałego ułamka pomnożyć przez ${\displaystyle e^{\frac {d}{R}}.}$

• Z punktu ${\displaystyle A}$ można wyprowadzić dwa różne promienie równoległe do prostej ${\displaystyle p.}$ Oba te promienie są położone symetrycznie względem prostopadłej do prostej ${\displaystyle p}$ poprowadzonej z punktu ${\displaystyle A}$ i dlatego tworzą z tą prostopadłą ten sam kąt ${\displaystyle \Pi (AB)}$^[4].
• Na rysunku mamy dwa przystające trójkąty asymptotyczne prostopadłe: ${\displaystyle ABN}$ i ${\displaystyle ABM.}$ Z własności trójkątów asymptotycznych prostopadłych wynika, że ${\displaystyle \Pi (AB)}$ jest funkcją.
• Jeśli ${\displaystyle AB>CD,}$ to ${\displaystyle \Pi (AB)<\Pi (CD).}$ Zatem funkcja ${\displaystyle \Pi (x)}$ jest funkcją różnowartościową^[5].
• Trójkąt NAM jest trójkątem podwójnie asymptotycznym. Kąt przy wierzchołku ${\displaystyle A}$ jest równy ${\displaystyle 2\Pi (AB).}$ Pozostałe kąty zgodnie z twierdzeniem Bolyai są kątami zerowymi.
• ${\displaystyle \lim _{d\to 0}\Pi (d)={\frac {\pi }{2}},\lim _{d\to \infty }\Pi (d)=0}$^[6].

Zobacz też

• równoległość w geometrii hiperbolicznej
• trójkąt asymptotyczny
• trójkąt podwójnie asymptotyczny
• trójkąt potrójnie asymptotyczny
• defekt trójkąta
• model Poincarégo
• prosta pochyła
• proste nadrównoległe
• punkt w nieskończoności w geometrii hiperbolicznej

Przypisy

1. Słowo równoległość należy tu rozumieć w sensie Łobaczewskiego, tzn. chodzi o dwie skrajne proste wśród nieskończenie wielu prostych nie mających wspólnego punktu z prostą daną (S. Kulczycki, Geometria nieeuklidesowa, PWN, Warszawa 1956, s. 70).
2. Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 313.
3. Математическая энциклопедия. И.М. Виноградов (red.). T. 3. Москва: Советская энциклопедия, 1982, s. 404.
4. Coxeter, op. cit., s. 313.
5. Coxeter, op. cit., s. 314–316.
6. Математическая энциклопедия, T. 3, op. cit., s. 404.

Bibliografia

• Kulczycki S.: Geometria nieeuklidesowa. Warszawa: PWN, 1956. Brak numerów stron w książce
• Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967. Brak numerów stron w książce
• Математическая энциклопедия. И.М. Виноградов (red.). T. 3. Москва: Советская энциклопедия, 1982. Brak numerów stron w książce