Liczby p-adyczne całkowite

Liczby p-adyczne całkowite (gdzie ${\displaystyle \mathbb {N} \ni p>1,}$ np. 10-adyczne, 2-adyczne) są rozszerzeniem pojęcia liczb całkowitych i (gdy p jest liczbą pierwszą) szczególnym przypadkiem liczb p-adycznych. Liczba p-adyczna całkowita to nieskończony ciąg liczb całkowitych ${\displaystyle a_{i}}$ zwanych cyframi, zawartych w przedziale ${\displaystyle [0,p-1],}$ gdzie ${\displaystyle i=0,1,\dots }$

Skrótowo zapisuje się je jako: ${\displaystyle ...a_{7}a_{6}a_{5}a_{4}a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}.}$

Działania

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wśród liczb p-adycznych wykonuje się analogicznie jak odpowiednie działania pisemne dla liczb całkowitych w systemie liczbowym o podstawie ${\displaystyle p,}$ choć oczywiście cyfr jest tu nieskończenie wiele. Na przykład dla liczb 10-adycznych:

${\displaystyle {\begin{array}{r}...129129129\\{\underline {+\quad ...545454545}}\\...674583674\end{array}}}$

Liczby ujemne

Liczby ujemne można zdefiniować w następujący sposób: liczbą p-adyczną ${\displaystyle -x}$ nazywamy liczbę, która odjęta od x da zero (...0000).

Tym samym wśród liczb 10-adycznych:

• −1 = ...99999
• −2 = ...99998
• −10 = ...99990
• −15 = ...99985

itd.

Ogólnie liczbę przeciwną do liczby ${\displaystyle ...a_{7}a_{6}a_{5}a_{4}a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}$ konstruujemy następująco:

1. Każdą cyfrę ${\displaystyle a_{i}}$ zastępujemy przez ${\displaystyle p-1-a_{i}.}$
2. Dodajemy do tak powstałej liczby p-adycznej 1.

Zachodzi tu analogia z używanym w informatyce kodem uzupełnień do dwóch (U2), który koduje skończone liczby całkowite ujemne za pomocą liczb naturalnych w analogiczny sposób, jak w liczbach 2-adycznych.

Moc zbioru liczb p-adycznych całkowitych

Zbiór liczb p-adycznych całkowitych ma moc continuum, więc podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych jedynie znikomo mały ich podzbiór jesteśmy w stanie zapisać w ten sposób (np. gdy występuje okres). W przypadku bardziej złożonych liczb p-adycznych musimy podawać wzór na elementy ciągu ${\displaystyle a_{i},}$ co także nie wyczerpuje wszystkich możliwych liczb p-adycznych (taki wzór może nie dawać się zapisać w skończonej postaci).

Liczby p-adyczne całkowite tworzą pierścień przemienny nad pierścieniem liczb całkowitych. Elementem neutralnym dodawania jest ${\displaystyle ...0000,}$ czyli liczba całkowita zero.

Przykłady

• ${\displaystyle ...000652}$ (można ją utożsamiać z liczbą całkowitą ${\displaystyle 652}$)
• ${\displaystyle ...999348}$ (można ją utożsamiać z liczbą całkowitą ${\displaystyle -652}$)

Zobacz też

• aksjomaty i konstrukcje liczb
• liczba
• liczby p-adyczne