Nierówność Kołmogorowa

Nierówność Kołmogorowa – nierówność leżąca u podstaw wielu twierdzeń granicznych (np. niektóre prawa wielkich liczb). Szczególnym przypadkiem tej nierówności (tzn. dla jednej zmiennej losowej) jest nierówność Czebyszewa.

Nierówność Kołmogorowa

Jeżeli zmienne losowe ${\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}}$^[1] są niezależne i całkowalne z kwadratem, to dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ prawdziwa jest nierówność

${\displaystyle P(\max _{1\leqslant k\leqslant n}\left|\sum _{j=1}^{k}{\big (}\xi _{j}-E\xi _{j}{\big )}\right|\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}\sum _{k=1}^{n}D^{2}\xi _{k},}$

gdzie ${\displaystyle D^{2}\xi }$ oznacza wariancję zmiennej ${\displaystyle \xi .}$

Przypisy

1. Na ustalonej przestrzeni probabilistycznej ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P).}$