Nierówność Marcinkiewicza-Zygmunda

Nierówność Marcinkiewicza-Zygmunda – nierówność nosząca nazwiska Józefa Marcinkiewicza i Antoniego Zygmunda opisująca związek między momentami ciągu niezależnych zmiennych losowych. Jest ona uogólnieniem wzoru na sumę wariancji niezależnych zmiennych losowych na momenty dowolnego rzędu, z drugiej strony istnieją generalizacje tej nierówności na ogólniejsze symetryczne statystyki niezależnych^[1], poprawiano również stałe^[2][3] i rozpatrywano zależne zmienne losowe^[4][5][6].

Twierdzenie

Jeśli ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle (i=1,\dots ,n)}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o zerowej wartości oczekiwanej, ${\displaystyle \mathbb {E} X_{i}=0,}$ i skończonych momentach do ${\displaystyle p}$-tego włącznie, ${\displaystyle \mathbb {E} |X_{i}|^{p}<+\infty }$ dla ${\displaystyle 1\leqslant p<+\infty ,}$ to

${\displaystyle A_{p}\ \mathbb {E} \left(\sum _{i=1}^{n}|X_{i}|^{2}\right)^{\frac {p}{2}}\leqslant \mathbb {E} \left|\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right|^{p}\leqslant B_{p}\ \mathbb {E} \left(\sum _{i=1}^{n}|X_{i}|^{2}\right)^{\frac {p}{2}},}$

gdzie ${\displaystyle A_{p}}$ oraz ${\displaystyle B_{p}}$ są dodatnimi stałymi zależącymi wyłącznie od ${\displaystyle p}$^[7][8].

Przypisy

1. R. Ibragimov, Sh. Sharakhmetov. Analogues of Khintchine, Marcinkiewicz–Zygmund and Rosenthal inequalities for symmetric statistics. „Scandinavian Journal of Statistics”. 26 (4), s. 621–633, 1999. 
2. R. Ibragimov, Sh. Sharakhmetov. The best constant in the Rosenthal inequality for nonnegative random variables. „Statistics & Probability Letters”. 55, s. 367–376, 2001. 
3. R. Latała. Estimation of moments of sums of independent real random variables. „Ann. Probab.”. 25, s. 1502–1513, 1997. 
4. P. Doukhan. Mixing. Properties and examples. „Lecture Notes Statist.”, 1994. Springer. brak numeru strony
5. T. Kim. Moment bounds for non-stationary dependent sequences. „J. Appl. Probab.”. 31, s. 731–742, 1994. 
6. I. Fazekas, A. Kukush, T. Tómács. On the Rosenthal inequality for mixing fields. „Ukrain. Mat. J.”. 2, s. 266–276, 2000. 
7. J. Marcinkiewicz, A. Zygmund. Sur les foncions independantes. „Fund. Math.”. 28, s. 60–90, 1937. 
   Przedruk w: Józef Marcinkiewicz: Prace zebrane. Antoni Zygmund (red.). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964, s. 233–259.
8. Y. S. Chow, H. Teicher: Probability theory. Independence, interchangeability, martingales. Wyd. II. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1988. Brak numerów stron w książce