Nierówność Poincarégo

Nierówność Poincarégo – rezultat dotyczący ograniczania normy ${\displaystyle L^{p}}$ funkcji (pomniejszonej o średnią całkową) z przestrzeni Sobolewa przez normę jej gradientu.

Wypowiedź

Niech ${\displaystyle 1\leqslant p<+\infty }$ oraz ${\displaystyle \Omega }$ będzie otwartym, ograniczonym i spójnym podzbiorem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ o brzegu klasy ${\displaystyle C^{1}.}$ Wtedy istnieje taka stała ${\displaystyle C>0,}$ że dla każdej funkcji ${\displaystyle u}$ należącej do przestrzeni Sobolewa ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ zachodzi:

${\displaystyle \|u-(u)_{\Omega }\|_{L^{p}}\leqslant C\|\nabla u\|_{L^{p}},}$

gdzie:

• ${\displaystyle (u)_{\Omega }={\frac {1}{m(\Omega )}}\int _{\Omega }u(x)dx}$ jest średnią całkową funkcji ${\displaystyle u}$ na ${\displaystyle \Omega ,}$
• ${\displaystyle m(\Omega )}$ oznacza miarę Lebesgue’a na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ zbioru ${\displaystyle \Omega ,}$
• ${\displaystyle \|\nabla u\|_{L^{p}}}$ jest dane wzorem:

${\displaystyle \|\nabla u\|_{L^{p}}=(\sum _{j=1}^{n}\|{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}\|_{L^{p}}^{p})^{1/p}.}$

Bibliografia

• Lawrence C. Evans: Równania różniczkowe cząstkowe. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002. Brak numerów stron w książce