Nierówność Shapiro

Nierówność Shapiro – nierówność zaproponowana przez amerykańskiego matematyka Shapiro w 1954 r.

Niech $x_{1},\;x_{2},\;\dots ,\;x_{n}>0,\;n\in \mathbb {N}$ oraz

n\leqslant 12

będzie liczbą parzystą

albo

n\leqslant 23

będzie liczbą nieparzystą.

Oznaczmy także $x_{n+1}=x_{1},x_{n+2}=x_{2}.$ Wówczas zachodzi

{\frac {n}{2}}\leqslant \sum _{i=1}^{n}~{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}.

Nierówność ta dla n = 3 nazywana jest nierównością Nesbitta^[1].

Dla większych wartości n nierówność nie zachodzi, a ostrym ograniczeniem dolnym jest $\gamma n,$ gdzie $\gamma \approx 0{,}494$ jest równe $\psi (0)/2,$ gdzie $\psi$ jest największą funkcją wypukłą, której wykres leży poniżej wykresów $y=e^{-x}$ oraz $y=2\left(e^{x}+e^{\frac {x}{2}}\right)^{-1}.$ Wartość tej stałej znalazł w 1969 Vladimir Drinfeld.

Dowód nierówności dla n = 1 i n = 2

Dowód nierówności dla $n=1$ oraz $n=2$ jest trywialny.

Gdy $n=1$ nierówność Shapiro ma postać:

{\frac {x_{1}}{2x_{1}}}\geqslant {\frac {1}{2}},

czyli ${\frac {1}{2}}\geqslant {\frac {1}{2}},$

gdy $n=2$ nierówność Shapiro jest postaci:

{\frac {x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}+{\frac {x_{2}}{x_{2}+x_{1}}}\geqslant 1,

czyli ${\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\geqslant 1$

1\geqslant 1.

Dowód nierówności dla n = 3

Skorzystamy z następującego lematu:

\forall _{x\in \mathbb {R} _{+}}x+{\frac {1}{x}}\geqslant 2.

Dowód lematu:

Niech $x$ będzie dowolną liczbą dodatnią. Mamy:

x+{\frac {1}{x}}\geqslant 2\iff x^{2}+1\geqslant 2x\iff x^{2}-2x+1\geqslant 0\iff (x-1)^{2}\geqslant 0.

Ostatnia nierówność jest prawdziwa, ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Dowód Nierówności Shapiro, gdy $n=3{:}$

Mamy wykazać, że:

\forall _{x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {R} _{+}}{\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{1}}}+{\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{2}}}\geqslant {\frac {3}{2}}\qquad \qquad (*)

Oznaczmy $a=x_{2}+x_{3},$ $b=x_{3}+x_{1},$ $c=x_{1}+x_{2}.$ Zatem:

x_{1}={\frac {1}{2}}(b+c-a),

x_{2}={\frac {1}{2}}(a+c-b),

x_{3}={\frac {1}{2}}(a+b-c).

Nierówność $(*)$ możemy więc zapisać następująco:

{\frac {b+c-a}{2a}}+{\frac {a+c-b}{2b}}+{\frac {a+b-c}{2c}}\geqslant {\frac {3}{2}},

kolejne nierówności są równoważne:

{\frac {b+c-a}{a}}+{\frac {a+c-b}{b}}+{\frac {a+b-c}{c}}\geqslant 3

{\frac {b}{a}}+{\frac {c}{a}}-1+{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{b}}-1+{\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}-1\geqslant 3

{\frac {b}{a}}+{\frac {c}{a}}+{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}\geqslant 6

\left({\frac {b}{a}}+{\frac {a}{b}}\right)+\left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)+\left({\frac {a}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geqslant 6\qquad \qquad (**)

Na mocy lematu mamy:

{\frac {b}{a}}+{\frac {a}{b}}\geqslant 2

{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\geqslant 2

{\frac {a}{c}}+{\frac {c}{a}}\geqslant 2

Dodając te nierówności stronami otrzymujemy nierówność $(**),$ co dowodzi, że nierówność $(*)$ jest prawdziwa.

Dowód nierówności dla n = 4

Udowodnimy najpierw następujący lemat:

\forall _{x,y\in \mathbb {R} +}{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}\geqslant {\frac {4}{x+y}}

Dowód lematu:

Dla dowolnych dodatnich $x,y$ zachodzi $(x-y)^{2}\geqslant 0.$ Mamy:

(x-y)^{2}\geqslant 0\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geqslant 2xy\Rightarrow {\frac {x^{2}+y^{2}}{xy}}\geqslant 2\Rightarrow {\frac {x}{y}}+{\frac {y}{x}}\geqslant 2\Rightarrow 2+{\frac {x}{y}}+{\frac {y}{x}}\geqslant 4\Rightarrow {\frac {x+y}{x}}+{\frac {x+y}{y}}\geqslant 4\Rightarrow {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}\geqslant {\frac {4}{x+y}},

c. n. d.

Dowód Nierówności Shapiro dla n = 4:

Mamy wykazać, że $\forall _{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\in \mathbb {R} _{+}}{\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}\geqslant 2$