Określoność formy

Określoność formy – właściwość formy kwadratowej ${\displaystyle Q(\mathbf {x} )}$ określonej na rzeczywistej przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$^[a].

• Jeżeli forma przyjmuje wartości tego samego znaku dla wszystkich punktów ${\displaystyle \mathbf {x} }$ przestrzeni liniowej, to nazywa się ją określoną.
• Jeżeli forma przyjmuje wartości tego samego znaku albo zeruje się dla niektórych punktów ${\displaystyle \mathbf {x} }$ przestrzeni liniowej, to nazywa się ją półokreśloną.
• Jeżeli forma przyjmuje dla jednych punktów ${\displaystyle \mathbf {x} }$ wartości dodatnie, a dla innych ujemne, to nazywa się ją nieokreśloną.

Rodzaje form określonych

Spośród form określonych i półokreślonych wyróżnia się następujące typy:

jeżeli dla każdego ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$ jest

• ${\displaystyle Q(\mathbf {x} )>0}$ – formę nazywa się dodatnio określoną (dodatnia),
• ${\displaystyle Q(\mathbf {x} )<0}$ – formę nazywa się ujemnie określoną (ujemna),
• ${\displaystyle Q(\mathbf {x} )\geqslant 0}$ – formę nazywa się nieujemnie określoną (nieujemna; dodatnio półokreślona),
• ${\displaystyle Q(\mathbf {x} )\leqslant 0}$ – formę nazywa się niedodatnio określoną (niedodatnia; ujemnie półokreślona).

Uwaga: Znaki elementów macierzy nie mają bezpośredniego związku z określonością macierzy (patrz przykłady poniżej).

Macierze odpowiadające formom

(1) Formie kwadratowej ${\displaystyle Q}$(i zapisanej w postaci symetrycznej – patrz niżej) zdefiniowanej na przestrzeni n-wymiarowej można przypisać macierz w następujący sposób

${\displaystyle Q(\mathbf {x} )\equiv Q(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}=\mathbf {x} ^{\text{T}}A\,\mathbf {x} ,}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ jest dowolnym wektorem o ${\displaystyle n}$ współrzędnych ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},}$ takich że nie wszystkie współrzędne są równe zeru; indeks górny ${\displaystyle ^{\mathrm {T} }}$ oznacza transpozycję; ${\displaystyle A=[a_{ij}]}$ oznacza macierz symetryczną ${\displaystyle n\times n.}$

Uwaga: Zakłada się, że forma ma postać symetryczną, tj. ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}.}$ Jeżeli by tak nie było, to łatwo nadać formie postać symetryczną zastępując współczynniki formy ${\displaystyle a_{ij},a_{ji}}$ przez ich średnie arytmetyczne, tj. przyjmując

${\displaystyle a'_{ij}=a'_{ji}=(a_{ij}+a_{ji})/2.}$

Przy takiej zamianie forma nie ulegnie zmianie, a tylko przegrupowane zostają jej wyrazy.

(2) Macierz ${\displaystyle A}$ jest

• diagonalna, gdy forma zawiera wyłącznie wyrazy z kwadratami zmiennych,
• ma wyrazy pozadiagonalne, gdy forma zawiera składniki z iloczynami dwóch różnych zmiennych.

(3) Def. Macierze formy nazywa się macierzami określonymi/nieokreślonymi itd. jeżeli odpowiadają formom określonym/nieokreślonym itd.

Formy zdegenerowane/niezdegenerowane

Def. 1. Formę nazywamy zdegenerowaną, jeżeli jest równa zero dla wszystkich wartości ${\displaystyle \mathbf {x} .}$

Def. 2. Formę nazywamy niezdegenerowaną, jeżeli istnieje choć jedna wartość ${\displaystyle \mathbf {x} ,}$ dla której forma jest różna od zera.

Tw. 1. Forma jest zdegenerowana, jeżeli wyznacznik macierzy formy jest równy zeru.

Formy dwuliniowe

Tw. 2. Każdej formie kwadratowej ${\displaystyle Q(x)}$ odpowiada wzajemnie jednoznacznie symetryczna forma dwuliniowa ${\displaystyle B(x,x)}$ określona na tej samej przestrzeni, tak że zachodzą związki

${\displaystyle Q(x)=B(x,x),}$

${\displaystyle B(x,y)=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).}$

Def. 3. Formę symetryczną dwuliniową nazywa się określoną, nieokreśloną, półokreśloną itd. odpowiednio do odpowiadającej jej formy kwadratowej.

Tw. 3. Jeżeli forma kwadratowa ${\displaystyle Q}$ jest zadana za pomocą symetrycznej formy dwuliniowej ${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$ wzorem

${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ),}$

to macierze tych form są równe.

Wynika stąd, że ma sens mówienie nie tylko o określoności (lub jej braku) macierzy form kwadratowych, ale i o określoności dowolnych form dwuliniowych symetrycznych.

Każda macierz kwadratowa może więc być macierzą pewnej formy kwadratowej bądź dwuliniowej symetrycznej.

Twierdzenie o dodatniej określoności

Forma kwadratowa o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych zapisana w postaci symetrycznej jest dodatnio określona, jeżeli wszystkie minory główne jej macierzy, obliczane po przekątnej od lewego rogu, są dodatnie. Np. macierz

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}q_{11}&q_{12}&q_{13}\\q_{21}&q_{22}&q_{23}\\q_{31}&q_{32}&q_{33}\end{bmatrix}}}$

będzie dodatnio określona, jeżeli:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}q_{11}&q_{12}&q_{13}\\q_{21}&q_{22}&q_{23}\\q_{31}&q_{32}&q_{33}\end{vmatrix}}>0,\;{\begin{vmatrix}q_{11}&q_{12}\\q_{21}&q_{22}\end{vmatrix}}>0,\;q_{11}>0.}$

Twierdzenie powyższe można zastosować do:

• sprawdzenia, czy dana macierz jest dodatnio określona
  • np. stosując do Przykładów 1, 2 – poniżej widać natychmiast, że macierz P jest określona dodatnio, a macierz N – nie,
• nałożenia warunków, ograniczających możliwe rozwiązania (np. L. Landau, J. Lifszyc, Teoria pola, s. 286).

Przykłady

Poniższe przykłady pokazują, że znaki elementów macierzy nie mają bezpośredniego związku z określonością macierzy.

Przykład 1. Macierz rzeczywista, symetryczna, dodatnio określona

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}}$

Dowód: Dla dowolnej macierzy kolumnowej ${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$ jest

${\displaystyle {\begin{aligned}\\\mathbf {X} \,\mathbf {P} \,\mathbf {X} ^{T}&={\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}2x-y&-x+2y-z&-y+2z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\\&={\begin{matrix}2x^{2}-xy-xy+2y^{2}-yz-yz+2z^{2}.\end{matrix}}\end{aligned}}}$

Oznacza to, że odpowiadająca tej macierzy forma kwadratowa ${\displaystyle P}$ ma wzór

${\displaystyle P(\mathbf {x} )=2x^{2}-2xy+2y^{2}-2yz+2z^{2}=x^{2}+(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+z^{2},}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z).}$ Widać stąd, że forma ${\displaystyle P(\mathbf {x} )}$ jest nieujemna, gdyż dana jest jako suma kwadratów, a ta nie jest nigdy mniejsza od zera. Ponadto forma ta jest niezdegenerowana, gdyż zeruje się tylko, gdy ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} .}$ Forma ${\displaystyle P(\mathbf {x} )}$ jest więc dodatnio określona, cnd.

Uwaga:

Dodatnią określoność łatwo stwierdzić, licząc minory główne (por. Twierdzenie powyżej lub Kryterium Sylvestera).

Przykład 2. Macierz rzeczywista, symetryczna, określona niedodatnio

${\displaystyle \mathbf {N} ={\begin{bmatrix}-1&-1&1\\-1&-2&0\\1&0&-2\end{bmatrix}}.}$

Dowód: Wykonując obliczenia jak w Przykładzie 1 łatwo przekonać się, że odpowiadająca tej macierzy forma kwadratowa ${\displaystyle N}$ ma postać

${\displaystyle N(\mathbf {x} )=-x^{2}-2xy+2xz-2y^{2}-2z^{2}=-(x+y-z)^{2}-(y+z)^{2},}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z).}$ Z postaci formy widać, że jest niedodatnia i przyjmuje zero wyłącznie dla ${\displaystyle \mathbf {x} =(-2t,t,-t),}$ gdzie ${\displaystyle t\in \mathbb {R} .}$ Dlatego forma ${\displaystyle N(\mathbf {x} )}$ jest niedodatnio określona, cnd.

Uwaga, przekształcenie wzoru formy kwadratowej, do postaci sumy bądź różnicy kwadratów, nie jest najprostszym sposobem badania określoności formy, w wielu przypadkach może okazać się pomocne Kryterium Sylvestera.

Przykład 3. Macierz rzeczywista, symetryczna, nieokreślona

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}1&3&-2\\3&-2&0\\-2&0&1\end{bmatrix}}.}$

Dowód: Można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że macierzy ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ odpowiada forma kwadratowa

${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=x^{2}-2y^{2}+z^{2}+6xy-4xz,}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z),}$

Forma ta jest nieokreślona, gdyż

• przyjmuje wartości zarówno dodatnie, jak i ujemne, np.:
  1. jeśli ${\displaystyle \mathbf {x} =(0,1,1),}$ to ${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=-1,}$
  2. jeśli ${\displaystyle \mathbf {x} =(2,1,0),}$ to ${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=14,}$
• jest niezdegenerowana, tj. dla wszystkich ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$ jest ${\displaystyle Q(\mathbf {x} )\neq 0.}$

Przykład 4. Macierz jednostkowa w przestrzeni rzeczywistej lub zespolonej – jest dodatnio określona.

(1) Macierz jednostkowa ${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$ jest określona dodatnio. Jeśli jest to macierz formy określonej na przestrzeni rzeczywistej, to dla dowolnych wektorów mamy

${\displaystyle X^{\textsf {T}}IX={\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=x^{2}+y^{2}.}$

(2) Jeśli jest to macierz formy określonej na przestrzeni zespolonej, to dla dowolnego wektora zespolonego mamy

${\displaystyle X^{\mathrm {H} }IX={\begin{bmatrix}x^{*}&y^{*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=x^{*}x+y^{*}y=|x|^{2}+|y|^{2}.}$

Ponieważ wektor jest niezerowy, to ${\displaystyle x}$ albo ${\displaystyle y}$ musi być niezerowe, więc macierz jest dodatnio określona.

Twierdzenia

(1) Wszystkie formy dodatnio/ujemnie określone na tej samej przestrzeni wymiaru ${\displaystyle n}$ są równoważne formie kwadratowej diagonalnej, składającej się z sumy ${\displaystyle n}$ kwadratów^[b].

(2) Określoność formy nie zależy od wyboru współrzędnych (choć postać formy zależy od wyboru współrzędnych). Oznacza to, że wszystkie wartości własne dodatnio określonej formy są dodatnie.

(3) Wynika stąd, że formy/macierze dodatnio określone są:

• nieosobliwe, tzn. mają niezerowy wyznacznik (będący iloczynem wszystkich wartości własnych),
• a zatem odwracalne,
• ponadto forma/macierz odwrotna do danej też jest dodatnio określona^[c],
• suma form/macierzy dodatnio określonych także jest dodatnio określona^[d].

(4) Analogiczne twierdzenia są słuszne dla macierzy ujemnie określonych.

(5) Ponadto słuszne są twierdzenia:

• symetryczna^[e] macierz dodatnio określona ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ma rozkład Choleskiego, tzn. istnieje macierz odwracalna ${\displaystyle \mathbf {L} ,}$ dla której ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {LL} ^{\mathrm {T} }}$ (symetria i dodatnia określoność – to warunki konieczne i dostateczne),
• dla nieosobliwej/odwracalnej macierzy rzeczywistej ${\displaystyle \mathbf {A} }$ iloczyny ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} }$ oraz ${\displaystyle \mathbf {AA} ^{\mathrm {T} }}$ są dodatnio określone^[f],
• wynika stąd, że dodatnio określona jest forma/macierz jednostkowa^[g],
• wszystkie wartości własne formy/macierzy zerowej są równe zeru, dlatego jest ona jednocześnie określona nieujemnie i niedodatnio – jest to jedyna forma/macierz o tej własności.

Zobacz też

• forma kwadratowa
• kryterium Sylvestera określoności form kwadratowych
• twierdzenie Sylvestera o bezwładności form kwadratowych

Zastosowania

• rozmaitość pseudoriemannowska
• rozmaitość riemannowska
• tensor metryczny

Uwagi

1. Bądź ogólniej: przestrzeni liniowej nad ciałem uporządkowanym; w szczególności nie nad ciałem liczb zespolonych. Można rozpatrywać inne uogólnienia, np. formy hermitowskie określone na przestrzeniach liniowych nad liczbami zespolonymi i o wartościach rzeczywistych (czy w ciele uporządkowanym). Macierz takiej formy powinna być wtedy nie symetryczna a hermitowska.
2. Formy kwadratowe ${\displaystyle Q_{1}}$ i ${\displaystyle Q_{2}}$ określone odpowiednio na ${\displaystyle V_{1}}$ i ${\displaystyle V_{2}}$ nazywa się równoważnymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm (liniowy) ${\displaystyle \mathrm {C} \colon V_{1}\to V_{2},}$ który spełniałby ${\displaystyle Q_{2}(\mathrm {C} \mathbf {x} )=Q_{1}(\mathbf {x} ).}$
3. Zgodnie z twierdzeniem Cauchy’ego wyznacznik macierzy odwrotnej jest odwrotnością macierzy wyjściowej, odwrotność dodatniej liczby również jest dodatnia.
4. Jeśli ${\displaystyle A}$ oraz ${\displaystyle B}$ są dodatnio określone, ${\displaystyle A(\mathbf {x} )>0}$ oraz ${\displaystyle B(\mathbf {x} )>0}$ dla ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} ,}$ to ${\displaystyle A+B}$ również jest dodatnio określona, ponieważ ${\displaystyle (A+B)(\mathbf {x} )=A(\mathbf {x} )+B(\mathbf {x} )>0}$ dla ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} .}$
5. Ogólniej: hermitowska, wtedy transpozycję we wzorze należy zastąpić sprzężeniem hermitowskim.
6. Dla niezerowej macierzy kolumnowej ${\displaystyle \mathbf {X} }$ zachodzi ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathrm {T} }(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} )\mathbf {X} =(\mathbf {AX} )^{\mathrm {T} }\mathbf {AX} ,}$ równe po współrzędnych ${\displaystyle \mathbf {AX} \cdot \mathbf {AX} =\|\mathbf {AX} \|^{2},}$ skąd norma macierzowa ${\displaystyle \|\mathbf {AX} \|>0}$ (norma Frobeniusa indukowana ze standardowego iloczynu skalarnego macierzy) musi być nieujemna, ponieważ nieosobliwość/odwracalność macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ jest równoważna ${\displaystyle \mathbf {AX} \neq \mathbf {\Theta } }$ (gdyż ${\displaystyle \mathbf {X} \neq \mathbf {\Theta } ;}$ norma mogłaby się zerować, tylko gdy ${\displaystyle \mathbf {AX} =\mathbf {\Theta } }$). Podobnie ${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathrm {T} }(\mathbf {AA} ^{\mathrm {T} })\mathbf {X} =(\mathbf {A} ^{\mathbf {T} }\mathbf {X} )^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathbf {T} }\mathbf {X} ,}$ równe po współrzędnych ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathbf {T} }\mathbf {X} )\cdot (\mathbf {A} ^{\mathbf {T} }\mathbf {X} )=\|\mathbf {A} ^{\mathbf {T} }\mathbf {X} \|^{2},}$ oznacza ${\displaystyle \|\mathbf {A} ^{\mathbf {T} }\mathbf {X} \|>0}$ z tym samym uzasadnieniem końcowym.
7. Ze względu na równości ${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {I} ^{\mathrm {T} }\mathbf {I} =\mathbf {II} ^{\mathrm {T} }.}$

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979, s. 123–138.
• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974, s. 73–77.