Pierścień Witta

Pierścień Witta – pierścień o strukturze przekształconej w zbiór wektorów w taki sposób, że pierścień wektorów nad skończonym ciałem o charakterystyce ${\displaystyle p}$ jest pierścieniem liczb p-adycznych. Nazwa pochodzi od Ernsta Witta, który jako pierwszy dokonał takiego przekształcenia.

Konstrukcja

Weźmy liczbę pierwszą ${\displaystyle p.}$ Wektor Witta nad pierścieniem przemiennym ${\displaystyle R}$ jest ciągiem ${\displaystyle (X_{0},X_{1},X_{2},\dots )}$ elementów ${\displaystyle R.}$

Zdefiniujmy wielomiany Witta ${\displaystyle W_{i}}$ w następujący sposób:

${\displaystyle W_{0}=X_{0}}$

${\displaystyle W_{1}=X_{0}^{p}+pX_{1}}$

${\displaystyle W_{2}=X_{0}^{p^{2}}+pX_{1}^{p}+p^{2}X_{2}}$

i ogólnie

${\displaystyle W_{n}=\sum _{i}p^{i}X_{i}^{p^{n-i}}.}$

Następnie Witt pokazał, że istnieje metoda przekształcenia dowolnego przemiennego pierścienia R w tzw. pierścień wektorów Witta, taki że:

• suma i iloczyn są dane przez wielomiany ze współczynnikami, które nie zależą od ${\displaystyle R,}$
• każdy wielomian Witta jest homomorfizmem z pierścienia wektorów Witta nad ${\displaystyle R}$ w ${\displaystyle R.}$

Pierwsze kilka wielomianów określających sumę i iloczyn wektorów Witta zostało podane poniżej:

${\displaystyle (X_{0},X_{1},\dots )+(Y_{0},Y_{1},\dots )=(X_{0}+Y_{0},X_{1}+Y_{1}+(X_{0}^{p}+Y_{0}^{p}-(X_{0}+Y_{0})^{p})/p,\dots ),}$

${\displaystyle (X_{0},X_{1},\dots )\times (Y_{0},Y_{1},\dots )=(X_{0}Y_{0},X_{0}^{p}Y_{1}+Y_{0}^{p}X_{1}+pX_{1}Y_{1},\dots ).}$