Pierścień artinowski

Pierścień artinowski – pierścień ${\displaystyle R,}$ w którym każdy zstępujący (w sensie inkluzji) ciąg ${\displaystyle I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset \dots }$ ideałów pierścienia ${\displaystyle R}$ stabilizuje się^[1]. Pojęcie pierścienia artinowskiego zostało wprowadzone w 1944 roku przez Emila Artina^[2].

Stabilizowanie się ciągu ideałów ${\displaystyle I_{i}\subset R}$ oznacza, że:

${\displaystyle \exists _{k\in \mathbb {N} }\forall _{n>k}\ I_{n}=I_{k}}$^[1].

Jeśli dziedzina całkowitości ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem artinowskim, to ${\displaystyle R}$ jest ciałem^[3]. By udowodnić to twierdzenie, wystarczy rozpatrzeć ciąg ${\displaystyle sR\supset s^{2}R\supset \dots ,}$ (dla dowolnego ${\displaystyle s\in R\setminus \{0\}}$) i pokazać, że ${\displaystyle s}$ jest elementem odwracalnym^[3][4].

Przypisy

1. Rutkowski 2006 ↓, s. 178, Definicja 128.
2. Emil Artin, [w:] Encyclopædia Britannica [dostęp 2022-10-03]  (ang.).
3. Rutkowski 2006 ↓, s. 178, zad. 706.
4. Rutkowski 2006 ↓, s. 356.

Bibliografia

• Jerzy Rutkowski: Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 978-83-01-14388-6. OCLC 76326157.

Linki zewnętrzne

• Artinian ring (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].