Proces stochastyczny progresywnie mierzalny

Progresywna mierzalność – własność procesu stochastycznego, która jest silniejsza od adaptowania procesu do danej filtracji.

Definicja

Niech

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathsf {P}})}$ będzie przestrzenią probabilistyczną;
• ${\displaystyle (U,{\mathcal {A}})}$ będzie przestrzenią mierzalną;
• ${\displaystyle X\colon T\times \Omega \to U}$ będzie procesem stochastycznym (gdzie ${\displaystyle T=[0,\infty ),[0,t_{0}],\mathbb {N} _{0}}$ itp.);
• ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\colon t\in T\}}$ będzie ustaloną filtracją (tj. niemalejącą rodziną pod-σ-algebr σ-algebry ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$);
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,t])}$ oznacza algebrę zbiorów borelowskich na ${\displaystyle [0,t]\cap T.}$

Proces ${\displaystyle X}$ nazywany jest progresywnie mierzalnym względem filtracji ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t}),}$ gdy dla każdego ${\displaystyle t\in T}$ odwzorowanie

${\displaystyle [0,t]\cap T\times \Omega \to U}$

określone wzorem

${\displaystyle (s,\omega )\mapsto X_{s}(\omega )}$

jest mierzalne względem σ-algebry produktowej ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,t])\otimes {\mathcal {F}}_{t}}$^[1].

W szczególności, proces ${\displaystyle X}$ jest adaptowany do filtracji ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}.}$

Zbiory progresywnie mierzalne

Podzbiór ${\displaystyle P\subseteq T\times \Omega }$ jest progresywnie mierzalny, gdy proces

${\displaystyle X_{s}(\omega ):=\mathbf {1} _{P}(s,\omega )}$

jest progresywnie mierzalny (zob. funkcja charakterystyczna zbioru). Zbiór progresywnie mierzalnych podzbiorów ${\displaystyle T\times \Omega }$ tworzy σ-algebrę.

Własności

• Niech ${\displaystyle B=(B_{t})_{t\geqslant 0}}$ będzie ruchem Browna. Przestrzeń tych procesów stochastycznych ${\displaystyle X\colon [0,t_{0})\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n},}$ dla których całka Itō

${\displaystyle \int \limits _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}}$

względem ${\displaystyle B}$ jest zdefiniowana, jest tożsama z rodziną (klas abstrakcji) procesów stochastycznych należących do przestrzeni Lebesgue’a ${\displaystyle L^{2}([0,t_{0}]\times \Omega ;\mathbb {R} ^{n}).}$

Przypisy

1. Pasucci 2011 ↓, s. 110.

Bibliografia

• Andrea Pascucci, PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Springer, Berlin 2011.