Ranga grupy abelowej

Ranga grupy abelowej – uogólnienie pojęcia rangi grupy abelowej wolnej na dowolne grupy abelowe; można ją postrzegać jako najmniejszą liczbę elementów generujących daną grupę abelową. Ranga grupy abelowej wyznacza rozmiar największej grupy abelowej wolnej zawartej w tej grupie. Jeżeli grupa jest beztorsyjna, to rangę można traktować analogicznie do wymiaru przestrzeni liniowej: jest to w istocie wymiar najmniejszej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych, w której można zanurzyć daną grupę abelową.

Grupy abelowe są modułami nad pierścieniem liczb całkowitych, więc niżej przedstawiona definicja przenosi się wprost na moduły nad dowolnymi pierścieniami; z kolei odpowiednikiem rangi grupy abelowej wolnej jest ranga modułu wolnego.

Definicja

Niech ${\displaystyle A}$ oznacza dowolną grupę abelową. Rangą grupy ${\displaystyle A}$ nazywa się moc maksymalnego układu liniowo niezależnego zawierającego wyłącznie elementy rzędu nieskończonego i rzędu będącego potęgą pewnej liczby pierwszej. Rangę grupy abelowej ${\displaystyle A}$ oznacza się zwykle symbolem ${\displaystyle {\mbox{r}}(A).}$

Moc układu zawierającego wyłącznie elementy nieskończonego rzędu w ${\displaystyle A,}$ który jest maksymalny względem tej własności nazywa się rangą beztorsyjną grupy ${\displaystyle A}$ i oznacza symbolem ${\displaystyle {\mbox{r}}_{0}(A).}$ Dla ustalonej liczby pierwszej ${\displaystyle p}$ i grupy abelowej ${\displaystyle A}$ definiuje się również liczbę kardynalną ${\displaystyle {\mbox{r}}_{p}(A)}$ jako moc maksymalnego układu liniowo niezależnego zawierające elementy postaci ${\displaystyle p^{k},}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest pewną nieujemną liczbą całkowitą.

Równoważnie rangę ${\displaystyle \operatorname {r} (A)}$ grupy ${\displaystyle A}$ można zdefiniować jako wymiar przestrzeni liniowej ${\displaystyle A\otimes \mathbb {Q} }$ (zob. iloczyn tensorowy) nad ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Własności

• Ranga ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ dla dowolnej liczby naturalnej ${\displaystyle n}$ jest równa ${\displaystyle n;}$ ogólniej ranga grupy abelowej wolnej ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(I)}}$ nad zbiorem ${\displaystyle I}$ jest równa jego mocy.
• Grupa ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$ jest rangi ${\displaystyle n.}$
• Równość ${\displaystyle \operatorname {r} (A)=0}$ pociąga za sobą fakt, iż ${\displaystyle A}$ musi być grupą trywialną. Z kolei ${\displaystyle \operatorname {r} _{0}(A)=0}$ oznacza, że ${\displaystyle A}$ jest torsyjna. Z drugiej strony dla grupy beztorsyjnej ${\displaystyle A}$ zachodzi równość ${\displaystyle \operatorname {r} _{0}(A)=\operatorname {r} (A).}$
• Ranga jest addytywna względem krótkich ciągów dokładnych: jeżeli ${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$ jest krótkim ciągiem dokładnym grup abelowych, to ${\displaystyle \operatorname {r} (B)=\operatorname {r} (A)+\operatorname {r} (C).}$
• Jeżeli ${\displaystyle A_{\operatorname {T} }}$ oraz ${\displaystyle A_{\operatorname {T} _{p}}}$ oznaczają odpowiednio podgrupę torsyjną i podgrupę p-torsyjną grupy ${\displaystyle A,}$ to zachodzą równości

  ${\displaystyle \operatorname {r} _{0}(A)=\operatorname {r} \left(A/A_{\operatorname {T} }\right),}$

  ${\displaystyle \operatorname {r} _{p}(A)=\operatorname {r} \left(A_{\operatorname {T} _{p}}\right).}$

• Ranga jest addytywna względem dowolnych sum prostych:

  ${\displaystyle \operatorname {r} \left(\bigoplus _{j\in J}A_{j}\right)=\sum _{j\in J}\operatorname {r} (A_{j}),}$

gdzie prawa strona równości wyrażona jest w arytmetyce liczb kardynalnych; w szczególności z faktu, iż dowolna grupa daje się rozłożyć na część beztorsyjną i torsyjną, ta zaś na tzw. p-składowe wynika (na podstawie poprzedniej własności), że wszystkie trzy rodzaje rang łączy następująca relacja:

${\displaystyle \operatorname {r} (A)=\operatorname {r} _{0}(A)+\sum _{p\in \mathbb {P} }\operatorname {r} _{p}(A).}$

• Rangi ${\displaystyle \operatorname {r} (A),\operatorname {r} _{0}(A),\operatorname {r} _{p}(A)}$ są niezmiennikami grupy ${\displaystyle A.}$ Z powyższych obserwacji wynika, że aby udowodnić niezmienniczość ${\displaystyle \operatorname {r} }$ wystarczy dowieść niezmienniczości ${\displaystyle \operatorname {r} _{0}}$ oraz ${\displaystyle \operatorname {r} _{p},}$ co z kolei na podstawie powyższych zależności oznacza, że wystarcza ograniczyć się do grup beztorsyjnych oraz p-grup.

Grupy wyższych rang

Ranga jest ważnym niezmiennikiem skończenie generowanych grup abelowych: każda taka grupa jest wyznaczona z dokładnością do izomorfizmu przez jej rangę i jej część torsyjną (w szczególności każda skończenie generowana beztorsyjna grupa abelowa jest grupą abelową wolną). Do tej pory ukończono klasyfikację beztorsyjnych grup abelowych rangi 1. Teoria grup abelowych wyższej rangi, a więc opis niezmienników takich grup, nadal jest przedmiotem badań.

Grupy abelowe rangi większej niż 1 są źródłem wielu interesujących przykładów. Przykładowo dla każdej liczby kardynalnej ${\displaystyle d}$ istnieją beztorsyjne grupy abelowe rangi ${\displaystyle d,}$ które są nierozkładalne, tzn. nie mogą być wyrażone w postaci sumy prostej ich podgrup właściwych. Fakt ten ukazuje, że beztorsyjne grupy abelowe rangi większej niż 1 nie mogą być budowane z dobrze znanych beztorsyjnych grup abelowych rangi 1.

Co więcej, dla każdej liczby całkowitej ${\displaystyle n>2}$ istnieje beztorsyjna grupa rangi ${\displaystyle 2n-2,}$ która ma rozkłady proste na ${\displaystyle 2}$ oraz na ${\displaystyle n}$ nierozkładalnych składników. W ten sposób, dla grup rangi nie mniejszej niż ${\displaystyle 4}$ nie można określić jednoznacznie nawet liczby składników nierozkładalnych.

Ograniczenie się do rozkładów prostych o ustalonej liczbie nierozkładalnych składników także nie daje jednoznaczności rozkładu prostego, co obrazuje uderzający wynik Cornera: dla danych liczb całkowitych ${\displaystyle n\geqslant k\geqslant 1}$ istnieje taka beztorsyjna grupa abelowa ${\displaystyle A}$ rangi ${\displaystyle n,}$ że dla dowolnego rozkładu ${\displaystyle n=r_{1}+\dots +r_{k}}$ na ${\displaystyle k}$ liczb naturalnych ${\displaystyle r_{i}\geqslant 1}$ dla ${\displaystyle i=1,\dots ,k}$ grupę ${\displaystyle A}$ można przedstawić w postaci sumy prostej ${\displaystyle k}$ nierozkładalnych podgrup o rangach ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{k}.}$ Oznacza to, że nawet ciąg rang składników nierozkładalnych danego rozkładu prostego beztorsyjnej grupy abelowej skończonej rangi nie może być niezmiennikiem ${\displaystyle A.}$

Innym zaskakującym przykładem jest twierdzenie Fuchsa i Loonstry mówiące, iż dla danej liczby całkowitej ${\displaystyle m\geqslant 2}$ istnieją dwie nierozkładalne, beztorsyjne grupy abelowe ${\displaystyle A_{m}}$ oraz ${\displaystyle B_{m}}$ rangi ${\displaystyle 2}$ takie, że sumy proste ${\displaystyle n}$ ich egzemplarzy są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle m}$ dzieli ${\displaystyle n.}$

Dla grup abelowych rangi nieskończonej istnieje przykład grupy ${\displaystyle A}$ i jej podgrupy ${\displaystyle G}$ o następujących własnościach:

• ${\displaystyle A}$ jest nierozkładalna;
• ${\displaystyle A}$ jest generowana przez ${\displaystyle G}$ i dowolny inny element (tzn. jest sumą, lecz nieprostą);
• dowolny niezerowy składnik prosty ${\displaystyle G}$ jest nierozkładalny.