Rozkład Panjera

Rozkład Panjera

Parametry	${\displaystyle a,b}$
Nośnik	${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle {\frac {a+b}{1-a}}}$
Wariancja	${\displaystyle {\frac {a+b}{(1-a)^{2}}}}$
Odkrywca	Harry H. Panjer

Rozkład Panjera (rozkład z klasy rozkładów Panjera) – dyskretny rozkład stosowany w matematyce ubezpieczeniowej do opisu liczby szkód w modelu ryzyka łącznego.

Definicja

Rozkłady Panjera określone są wzorem rekurencyjnym:

${\displaystyle p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1},\quad k\geqslant 1.}$

gdzie ${\displaystyle p_{k}=P(X=k).}$

Wartość ${\displaystyle p_{0}}$ wynika z zależności.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1.}$

Opis klasy rozkładów Panjera

Rozkłady Panjera to rozkłady spełniających założenia wzoru Panjera w jego podstawowej formie (tzn. przy ${\displaystyle m=0}$).

Rozkładami należącymi do klasy rozkładów Panjera są (w nawiasie podano zakresy wartości występujących w założeniu parametrów ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$):

• rozkład Poissona (gdy ${\displaystyle a=0,}$ ${\displaystyle b>0}$),
• rozkład dwumianowy (gdy ${\displaystyle a<0,}$ ${\displaystyle b=-a(l+1),}$ ${\displaystyle l=1,2,3,\dots }$),
• rozkład ujemny dwumianowy (gdy ${\displaystyle a\in (0,1),}$ ${\displaystyle b>-a}$),
• rozkład zdegenerowany ${\displaystyle p_{0}=1}$ (gdy ${\displaystyle b=-a}$).

Rozkład	${\displaystyle Pr(N=k)}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle p_{0}}$	${\displaystyle W_{N}(x)}$	${\displaystyle E(N)}$	${\displaystyle Var(N)}$
dwumianowy	${\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$	${\displaystyle {\frac {-p}{1-p}}}$	${\displaystyle {\frac {p(n+1)}{1-p}}}$	${\displaystyle (1-p)^{n}}$	${\displaystyle (px+(1-p))^{n}}$	${\displaystyle np}$	${\displaystyle np(1-p)}$
Poissona	${\displaystyle e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle e^{-\lambda }}$	${\displaystyle e^{\lambda (s-1)}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \lambda }$
ujemny dwumianowy	${\displaystyle {\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}}$	${\displaystyle 1-p}$	${\displaystyle (1-p)(r-1)}$	${\displaystyle p^{r}}$	${\displaystyle \left({\frac {p}{1-x(1-p)}}\right)^{r}}$	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p}}}$	${\displaystyle {\frac {r(1-p)}{p^{2}}}}$

Można wykazać^[1], że nie istnieją rozkłady spełniające założenia wzoru Panjera dla których:

• ${\displaystyle b<-a,}$
• ${\displaystyle a\geqslant 1,}$ ${\displaystyle b>-a,}$
• ${\displaystyle a<0,}$ ${\displaystyle b>-1.}$

Zachodzi ponadto:

${\displaystyle {\frac {Var(X)}{E(X)}}={\frac {1}{1-a}}}$

oraz

${\displaystyle Var(X)>E(X)\iff a>0,}$

${\displaystyle Var(X)=E(X)\iff a=0,}$

${\displaystyle Var(X)<E(X)\iff a<0.}$

Uogólnienia

W 1981 roku Bjørn Sundt i William S. Jewell uogólnili wzór Panjera wprowadzając parametr ${\displaystyle m}$ określający wyraz ciągu ${\displaystyle (p_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ począwszy od którego wszystkie kolejne wyrazy spełniają założenia wzoru Panjera. Wcześniejsze wyrazy są dowolne^[1]. Powstała tym samym szersza klasa rozkładów nazywaną klasą Sundta-Jewella^[2].

Przypisy

1. B.B. Sundt B.B., W.S.W.S. Jewell W.S.W.S., Further results on recursive evaluation of compound distributions [PDF], „ASTIN Bulletin”, 1, 12, International Actuarial Association, 1981, s. 27–39  (ang.).???
2. Harry H. Panjer. Sundt and Jewell Class of Distributions. „Encyclopedia of Actuarial Science”, 2006-09-15. John Wiley & Sons, Ltd.. DOI: 10.1002/9780470012505.tas040. (ang.). 

Bibliografia

• Wojciech Otto: Ubezpieczenia majątkowe. Wyd. 1. Cz. I: Teoria ryzyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2004, seria: Matematyka w ubezpieczeniach. ISBN 83-204-2887-4. (pol.). Brak numerów stron w książce