Rozkład arcusa sinusa

Rozkład arcusa sinusa

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Nośnik	${\displaystyle x\in [0,1)}$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$
Dystrybuanta	${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
Mediana	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
Moda	${\displaystyle x\in \{0,1\}}$
Wariancja	${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}$
Współczynnik skośności	0
Kurtoza	${\displaystyle -{\tfrac {3}{2}}}$
Entropia	${\displaystyle \ln {\tfrac {\pi }{4}}}$
Funkcja tworząca momenty	${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {2r+1}{2r+2}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$
Funkcja charakterystyczna	${\displaystyle {}_{1}F_{1}({\tfrac {1}{2}};1;i\,t)}$

Rozkład arcusa sinusa – rozkład prawdopodobieństwa, którego dystrybuanta wyraża się wzorem

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\quad (x\in \mathbb {R} ).}$

Rozkład arcusa sinusa jest szczególnym przypadkiem rozkładu beta o parametrach ${\displaystyle \alpha =\beta =1/2}$ i wyraża on czas pobytu po stronie dodatniej w procesie Wienera na odcinku [0,1]^[1].

Przypisy

1. Jakubowski i Sztencel 2004 ↓, s. 118.

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.