Stopień Brouwera

Stopień 2. dwóch map z kuli na siebie

Przykład 4. stopnia

Stopień Brouwera lub inaczej stopień topologiczny – narzędzie pozwalające na określenie, czy dane równanie ${\displaystyle f(x)=y}$ ma rozwiązanie. Jest jednym z niezmienników topologicznych i ma szerokie zastosowanie w nieliniowej analizie matematycznej.

Definicja dla funkcji o wartościach w ${\displaystyle n}$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej

Niech ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ będzie zbiorem otwartym i ograniczonym, a ${\displaystyle f\colon {\overline {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}}$ funkcją ciągłą, gdzie ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ oznacza domknięcie zbioru ${\displaystyle \Omega .}$ Niech ponadto ${\displaystyle y\notin f(\partial \Omega ).}$ Stopniem topologicznym trójki ${\displaystyle (f,\Omega ,y)}$ nazwiemy liczbę całkowitą ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)}$ spełniającą trzy poniższe aksjomaty:

1. ${\displaystyle \deg(\mathrm {id} ,\Omega ,y)=\mathbf {1} _{\Omega }(y),}$ gdzie ${\displaystyle \mathbf {1} _{\Omega }}$ oznacza funkcję charakterystyczną zbioru ${\displaystyle \Omega ,}$ a ${\displaystyle \mathrm {id} }$ oznacza odwzorowanie identycznościowe zbioru ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ (normalizacja).
2. Jeśli ${\displaystyle \Omega _{1}}$ i ${\displaystyle \Omega _{2}}$ są rozłącznymi podzbiorami otwartymi zbioru ${\displaystyle \Omega }$ oraz ${\displaystyle y\notin f({\overline {\Omega }}\setminus (\Omega _{1}\cup \Omega _{2})),}$ to ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega _{1},y)+\deg(f,\Omega _{2},y)}$ (addytywność).
3. Jeśli ${\displaystyle h\colon {\overline {\Omega }}\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{n},\ y\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}}$ są funkcjami ciągłymi, oraz dla dowolnego ${\displaystyle t}$ mamy ${\displaystyle y(t)\notin h(\cdot ,t)(\partial \Omega ),}$ to wartość ${\displaystyle \deg(h(\cdot ,t),\Omega ,y(t))}$ nie zależy od wyboru ${\displaystyle t}$ (homotopijna niezmienniczość).

Można wykazać, że istnieje dokładnie jedna funkcja przyporządkowująca każdej trójce ${\displaystyle (f,\Omega ,y)}$ liczbę całkowitą ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)}$ spełniająca powyższe warunki. Zatem definicja jest poprawna.

Własności stopnia

Stopień topologiczny Brouwera spełnia ponadto następujące własności:

1. Jeśli ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)\neq 0,}$ to istnieje ${\displaystyle x\in \Omega }$ takie, że ${\displaystyle y=f(x).}$
2. Jeśli ${\displaystyle g\colon {\overline {\Omega }}\to \mathbb {R} }$ oraz równość ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ zachodzi dla argumentów z brzegu ${\displaystyle x\in \partial \Omega ,}$ to ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)=\deg(g,\Omega ,y).}$
3. Jeśli ${\displaystyle g\colon {\overline {\Omega }}\to \mathbb {R} }$ oraz odległość ${\displaystyle \|f-g\|}$ pomiędzy tymi funkcjami jest mniejsza od odległości ${\displaystyle y}$ od obrazu brzegu: ${\displaystyle \mathrm {dist} (y,f(\partial \Omega )),}$ to ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)=\deg(g,\Omega ,y).}$
4. Jeśli ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$ oraz odległość punktów ${\displaystyle \|y-z\|}$ jest mniejsza od odległości ${\displaystyle y}$ od obrazu brzegu: ${\displaystyle \mathrm {dist} (y,f(\partial \Omega )),}$ to ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega ,z).}$
5. Jeśli ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ jest homeomorfizmem, to ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)=\deg(\varphi \circ f\circ \varphi ^{-1},\varphi (\Omega ),\varphi (y)).}$
6. Jeśli ${\displaystyle A}$ jest zbiorem domkniętym i ${\displaystyle y\notin f(A),}$ to ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega \setminus A,y).}$

Związek z indeksem Morse’a

Dla dowolnego odwzorowania liniowego, odwracalnego (izomorfizmu) ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ przez ${\displaystyle m_{-}(A)}$ oznacza się indeks Morse’a, tj. sumę krotności algebraicznych wszystkich ujemnych wartości własnych odwzorowania ${\displaystyle A.}$ Niech ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ oznacza zbiór otwarty i ograniczony, i niech ${\displaystyle y\notin A(\partial \Omega ).}$ Wtedy, jeśli ${\displaystyle y\notin A(\Omega ),}$ to stopień topologiczny ${\displaystyle \deg(A,\Omega ,y)}$ jest równy 0, a w przeciwnym wypadku wynosi ${\displaystyle (-1)^{m_{-}(A)}.}$

Zastosowania

Stopień Brouwera często stosuje się w teorii bifurkacji równań różniczkowych, np. w dowodzie twierdzenia Krasnosielskiego o istnieniu punktów bifurkacji. W problemach nieskończenie wiele wymiarowych stosuje się odpowiednie uogólnienia stopnia Brouwera, np. stopień Leray-Schaudera.

Bibliografia

• Jacek Gulgowski, Wacław Marzantowicz: Wstęp do analizy nieliniowej, część 1: Teoria stopnia. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2003. ISBN 97-88323213-16-1. (pol.). Brak numerów stron w książce

Encyklopedie internetowe (niezmiennik przekształcenia):

• DSDE: afbildningsgrad