Subróżniczka

Funkcja wypukła (niebieski) i „podstyczne” w x₀ (czerwony).

Subróżniczka, subgradient, subpochodna (podróżniczka, podgradient, podpochodna) – pojęcia pojawiające się w analizie wypukłej, czyli badaniu funkcji wypukłych, często w powiązaniu z optymalizacją wypukłą.

Motywacja

Niech ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych określoną na przedziale otwartym prostej rzeczywistej. Taka funkcja nie musi być różniczkowalna w każdym punkcie: przykładowo funkcja wartości bezwzględnej określona wzorem ${\displaystyle f(x)=|x|}$ jest nieróżniczkowalna dla ${\displaystyle x=0.}$ Jednakże, jak widać na rysunku po prawej, dla każdego ${\displaystyle x_{0}}$ należącego do dziedziny można nakreślić prostą przechodzącą przez punkt ${\displaystyle {\bigl (}x_{0},f(x_{0}){\bigr )},}$ która w każdym punkcie albo jest styczna, albo leży poniżej wykresu ${\displaystyle f.}$ Właśnie nachylenie tej prostej nazywane jest podpochodną (gdyż prosta leży pod wykresem).

Definicja

Subpochodną funkcji wypukłej ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ w punkcie ${\displaystyle x_{0}}$ należącym do przedziału otwartego ${\displaystyle I}$ nazywa się taką liczbę rzeczywistą ${\displaystyle c,}$ że

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geqslant c(x-x_{0})}$

dla każdego ${\displaystyle x}$ należącego do ${\displaystyle I.}$ Można pokazać, że zbiór podpochodnych w punkcie ${\displaystyle x_{0}}$ jest niepustym przedziałem domkniętym ${\displaystyle [a,b],}$ gdzie ${\displaystyle a}$ oraz ${\displaystyle b}$ oznaczają granice jednostronne

${\displaystyle a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$

oraz

${\displaystyle b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},}$

które zawsze istnieją i spełniają ${\displaystyle a\leqslant b.}$

Zbiór ${\displaystyle [a,b]}$ wszystkich podpochodnych nazywa się subróżniczką funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle x_{0}.}$

Przykłady

Niech dana będzie funkcja wypukła ${\displaystyle f(x)=|x|.}$ Jej subróżniczką w początku układu jest przedział ${\displaystyle [-1,1].}$ subróżniczka w dowolnym punkcie ${\displaystyle x_{0}<0}$ jest równa zbiorowi jednoelementowemu ${\displaystyle \{-1\},}$ zaś w punktach ${\displaystyle x_{0}>0}$ jest nią zbiór ${\displaystyle \{1\}.}$

Własności

• Funkcja wypukła ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ jest różniczkowalna w punkcie ${\displaystyle x_{0}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej subróżniczka składa się tylko z jednego punktu, który jest pochodną w ${\displaystyle x_{0}.}$
• Punkt ${\displaystyle x_{0}}$ jest minimum globalnym funkcji ${\displaystyle f}$ wtedy i tylko wtedy, gdy zero zawiera się w subróżniczce, tzn. na powyższym rysunku można nakreślić tylko poziomą „podstyczną” do wykresu ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle {\bigl (}x_{0},f(x_{0}){\bigr )}.}$ Własność ta jest uogólnieniem faktu, że pochodna funkcji różniczkowalnej zeruje się w minimum lokalnym.

Subgradient

 Zobacz też: gradient (matematyka).

Pojęcia subpochodnej i subróżniczki mogą być uogólnione na funkcje wielu zmiennych. Jeżeli ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$ jest funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych określoną na wypukłym podzbiorze otwartym przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ to wektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$ tej przestrzeni nazywa się subgradientem w punkcie ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ należącym do ${\displaystyle U,}$ jeśli dla każdego ${\displaystyle \mathbf {x} }$ z ${\displaystyle U}$ zachodzi

${\displaystyle f(\mathbf {x} )-f(\mathbf {x} _{0})\geqslant \mathbf {v} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}),}$

gdzie mnożenie po prawej oznacza iloczyn skalarny.

Zbiór wszystkich subgradientów w ${\displaystyle x_{0}}$ nazywa się subróżniczką w ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ i oznacza symbolem ${\displaystyle \partial f(\mathbf {x} _{0}).}$ Subróżniczka jest zawsze niepustym, wypukłym zbiorem zwartym (tzn. domkniętym i ograniczonym).

Pojęcia te uogólniają się dalej na funkcje wypukłe ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$ określone na podzbiorze wypukłym przestrzeni lokalnie wypukłej ${\displaystyle V.}$ Funkcjonał ${\displaystyle \mathbf {v} ^{*}}$ należący do przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle V^{*}}$ nazywa się subgradientem w ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ należącym do ${\displaystyle U,}$ jeżeli

${\displaystyle f(\mathbf {x} )-f(\mathbf {x} _{0})\geqslant \mathbf {v} ^{*}(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}).}$

Zbiór wszystkich subgradientów w punkcie ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ nazywa się subróżniczką w ${\displaystyle x_{0}}$ i także oznacza symbolem ${\displaystyle \partial f(\mathbf {x} _{0}).}$ Subróżniczka zawsze jest wypukłym zbiorem domkniętym. Zbiór ten może być pusty: przykładem może być operator nieograniczony, który jest wypukły, lecz nie ma subgradientu. Jeśli ${\displaystyle f}$ jest ciągła, to subróżniczka nie jest pusta.

Zobacz też

• słaba pochodna

Bibliografia

• Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal: Fundamentals of Convex Analysis. Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6. Brak numerów stron w książce