Tożsamość Lagrange’a

Tożsamość Lagrange’a to następująca równość:

${\displaystyle \sum _{1\leqslant i<k\leqslant n}(a_{i}b_{k}-a_{k}b_{i})^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}}$

To samo, lecz inaczej:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\sum _{k=i+1}^{n}(a_{i}b_{k}-a_{k}b_{i})^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}}$

Nazwa równości pochodzi od znakomitego matematyka francuskiego Lagrange’a.

Jeśli zauważyć, że lewa strona tej równości jest zawsze nieujemna, z tożsamości Lagrange’a natychmiast otrzymujemy klasyczną nierówność Schwarza.

Tożsamość Lagrange’a w algebrze zewnętrznej

W terminach iloczynu zewnętrznego, tożsamość Lagrange’a można zapisać jako

${\displaystyle (a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b).}$

Można ją więc postrzegać jako wzór wyrażający długość wektora – iloczynu zewnętrznego dwu wektorów (równą polu równoległoboku rozpiętego na tych wektorach) w terminach iloczynu skalarnego tych wektorów:

${\displaystyle \|a\wedge b\|={\sqrt {(\|a\|\ \|b\|)^{2}-\|a\cdot b\|^{2}}}.}$

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Lagrange's Identity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].