Twierdzenie Brouwera o zachowaniu otwartości

Twierdzenie Brouwera o zachowaniu otwartości – twierdzenie topologii sformułowane i udowodnione w 1912 przez Jana Brouwera^[1]. Mówi ono, że podzbiór przestrzeni euklidesowej homeomorficzny z podzbiorem otwartym tej przestrzeni jest jej podzbiorem otwartym.

Brouwer użył w dowodzie wprowadzonych przez siebie metod topologii algebraicznej, a w szczególności twierdzenia Brouwera o punkcie stałym.

Twierdzenie to bywa również nazywane twierdzeniem o niezmienniczości obszaru (ang. Invariance of Domain).

Inne sformułowanie

Twierdzenie to można również wypowiedzieć w następujący sposób:

Jeżeli funkcja ${\displaystyle h:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ jest ciągłą injekcją zbioru otwartego ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ na zbiór ${\displaystyle V=h(U),}$ to zbiór ${\displaystyle V}$ jest otwarty w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Wnioski

• Przestrzenie euklidesowe różniące się wymiarami nie są homeomorficzne. Rzeczywiście, gdyby bowiem istniał homeomorfizm ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},m\neq n}$ (możemy założyć, że ${\displaystyle m<n}$), a ${\displaystyle i:\mathbb {R} ^{m}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ było naturalnym odwzorowaniem włożenia, to złożenie ${\displaystyle ih:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ byłoby homeomorfizmem, a więc w szczególności przeprowadzałoby całą przestrzeń ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ na podzbiór otwarty zawarty w ${\displaystyle i(\mathbb {R} ^{m}).}$ Jedynym otwartym podzbiorem ${\displaystyle i(\mathbb {R} ^{m})}$ jest zbiór pusty, a zatem z otrzymanej sprzeczności wnosimy, że musi być ${\displaystyle m=n.}$
• Nie istnieją odwzorowania ciągłe wzajemnie jednoznaczne przestrzeni euklidesowej na przestrzenie euklidesowe różniące się od niej wymiarem.

Uwagi

• Twierdzenie Brouwera pozostaje prawdziwe jeśli przestrzenie euklidesowe zamienimy na rozmaitości. Mianowicie, jeśli ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle N}$ są ${\displaystyle n}$-wymiarowymi rozmaitościami bez brzegu, a odwzorowanie ${\displaystyle h:M\to N}$ jest ciągłe i lokalnie różnowartościowe, to jest ono również otwarte.
• W pewnych przestrzeniach twierdzenie Brouwera przestaje być prawdziwe. Najprostszym przykładem może być przestrzeń Hilberta ${\displaystyle \ell ^{2}}$ oraz odwzorowanie ${\displaystyle h:\ell ^{2}\to \ell ^{2},}$ takie że ${\displaystyle h(x_{1},x_{2},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\dots ).}$ Jest ono ciągłe i różnowartościowe, a przeprowadza przestrzeń ${\displaystyle \ell ^{2}}$ na zbiór o pustym wnętrzu.

Zobacz też

• dywan Sierpińskiego
• rozmaitość topologiczna
• twierdzenie Brouwera o punkcie stałym

Przypisy

1. Brouwer L. Zur Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 72 (1912), s. 55–56.

Literatura

1. Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994, s. 94–96.