Twierdzenie Dooba

Twierdzenie Dooba – Niech ciąg ${\displaystyle (X_{n},F_{n})_{n=0}^{\infty }}$ będzie martyngałem, a ${\displaystyle \tau _{1}}$ i ${\displaystyle \tau _{2}}$ skończonymi p.n. momentami stopu, takimi, że

• ${\displaystyle E|X_{\tau _{i}}|<\infty ,\,i=1,2.}$

• ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }E(|X_{n}|1_{\{\tau _{i}>n\}})=0,\,i=1,2.}$

Wtedy ${\displaystyle E(X_{\tau _{2}}|F_{\tau _{1}})=X_{\tau _{1}}}$ na zbiorze ${\displaystyle \{\tau _{2}\geqslant \tau _{1}\}}$ prawie na pewno.

Gdy ${\displaystyle \mathbb {P} (\tau _{1}\leqslant \tau _{2})=1,}$ to ${\displaystyle E(X_{\tau _{2}}|{\mathcal {F}}_{\tau _{1}})=X_{\tau _{1}}}$ prawie na pewno, czyli ciąg ${\displaystyle (X_{\tau _{1}},{\mathcal {F}}_{\tau _{1}}),(X_{\tau _{2}},{\mathcal {F}}_{\tau _{2}})}$ jest martyngałem.

Czasami wygodniej jest skorzystać z nieco mniej ogólnej wersji twierdzenia:

Niech ciąg ${\displaystyle (X_{n},{\mathcal {F}}_{n})_{n=0}^{\infty }}$ będzie nadmartyngałem (lub analogicznie – martyngałem) i niech ${\displaystyle \tau _{1}\leqslant \tau _{2}}$ będą dwoma ograniczonymi momentami stopu. Wtedy ciąg ${\displaystyle (X_{\tau _{i}},{\mathcal {F}}_{\tau _{i}})_{i=1}^{2}}$ jest nadmartyngałem (martyngałem).

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004. ISBN 83-89716-02-X. Brak numerów stron w książce