Twierdzenie Krejna-Milmana

Zbiór wypukły (kolor niebieski) wraz ze swoimi punktami ekstremalnymi (czerwone linie)

Twierdzenie Krejna-Milmana – twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane w 1940 roku przez radzieckich matematyków Marka Krejna i Dawida Milmana. Przy założeniu twierdzenia o ideale pierwszym (BPI) jest ono równoważne aksjomatowi wyboru (AC) na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla^[1]:

Zwarty zbiór wypukły lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej jest domknięciem otoczki wypukłej zbioru swoich punktów ekstremalnych.

W szczególności ${\displaystyle X}$ może być przestrzenią unormowaną^[a]. Pod nazwą „twierdzenie Krejna-Milmana” rozumie się czasami następujące twierdzenie:

Kula jednostkowa przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle X^{*}}$ do rzeczywistej przestrzeni unormowanej ${\displaystyle X}$ ma punkt ekstremalny.

Dowód

 Zobacz też: hiperpłaszczyzna podpierająca.

Zbiór ${\displaystyle S}$ nazywa się zbiorem podpierającym zbioru ${\displaystyle C\subseteq X,}$ jeżeli ${\displaystyle S}$ jest takim domkniętym zbiorem afinicznym przecinającym ${\displaystyle C,}$ dla którego należenie do ${\displaystyle S}$ pewnego punktu wewnętrznego odcinka zawartego w ${\displaystyle C}$ pociąga zawieranie całego odcinka. Dowód polega na wykazaniu, iż zbiory podpierające są jednopunktowe, a punkty podpierające to nic innego jak punkty ekstremalne.

Dla dowolnego wektora ${\displaystyle x^{*}\in X^{*}}$ hiperpłaszczyzna

${\displaystyle H=H(x^{*})=\left\{x\in X\colon \langle x^{*},x\rangle =\max _{x\in C}~\langle x^{*},x\rangle \right\}}$

jest podpierająca. Niech ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ oznacza rodzinę wszystkich zbiorów podpierających zawartych w ${\displaystyle H}$ uporządkowaną relacją zawierania – z lematu Kuratowskiego-Zorna istnieje łańcuch maksymalny ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ w tej rodzinie. Przecięcie ${\displaystyle {\hat {\mathcal {S}}}}$ wszystkich zbiorów podpierających z ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ należy do ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ (na mocy maksymalności łańcucha); wystarczy dowieść, iż ${\displaystyle {\hat {\mathcal {S}}}}$ jest jednopunktowy. Otóż jeśli ${\displaystyle {\hat {\mathcal {S}}}}$ zawiera dwa elementy ${\displaystyle \xi }$ oraz ${\displaystyle \eta ,}$ to można je rozdzielić za pomocą pewnego funkcjonału ${\displaystyle {\hat {x}}^{*}}$ (tzn. wybrać taki ${\displaystyle {\hat {x}}^{*},}$ dla którego ${\displaystyle \langle {\hat {x}}^{*},\xi \rangle <\langle {\hat {x}}^{*},\eta \rangle }$), a następnie położyć ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {S}}}:={\hat {\mathcal {S}}}\cup \Gamma ,}$ gdzie

${\displaystyle \Gamma =\left\{x\in X\colon \langle {\hat {x}}^{*},x\rangle =\sup _{x\in {\hat {\mathcal {S}}}\cup C}\langle {\hat {x}}^{*},x\rangle \right\}.}$

Ponieważ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {S}}}}$ jest zbiorem domkniętym mającym infimum z ${\displaystyle C,}$ a ponadto będącym zarazem zbiorem podpierającym, co przeczy maksymalności ${\displaystyle {\hat {\mathcal {S}}}.}$

Jeśli ${\displaystyle \mathrm {extr} \;C}$ oznacza zbiór wszystkich punktów ekstremalnych zbioru ${\displaystyle C,}$ to domknięcie ${\displaystyle \mathrm {cl} \;C}$ zbioru ${\displaystyle C}$ jest jego podzbiorem właściwym. Stąd można oddzielić punkt ${\displaystyle C\setminus \mathrm {cl} \;C}$ od zbioru ${\displaystyle \mathrm {cl} \;C}$ za pomocą funkcjonału ${\displaystyle {\overline {x}}^{*}}$ i rozważając płaszczyznę podpierającą ${\displaystyle H({\overline {x}}^{*})}$ znaleźć punkt ekstremalny zbioru ${\displaystyle C}$ nie należący do ${\displaystyle \mathrm {cl} \;C}$ na tej hiperpłaszczyźnie. Sprzeczność ta kończy dowód.

Zobacz też

• twierdzenie Banacha-Alaoglu

Uwagi

1. Przestrzeń sprzężona ${\displaystyle X^{*}}$ do przestrzeni liniowo-topologicznej ${\displaystyle X}$ wyposażona w *-słabą topologię jest lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo topologiczną.

Przypisy

1. John Bell, David Fremlin: A geometric form of the axiom of choice. Warszawa: Fundamenta Mathematicae 77, 1973, s. 167–170. [1].