Twierdzenie Parsevala

Twierdzenie Parsevala^[1] – tożsamość^[2], która wynika z własności unitarności transformacji Fouriera, co nieformalnie można określić, że suma (lub całka) kwadratu funkcji równa się sumie (lub całce) kwadratu jej transformaty. W 1799^[3] roku twierdzenie na temat szeregów sformułował Mark-Antoine Parseval, które później zostało zastosowane do szeregu Fouriera.

Chociaż termin „twierdzenie Parsevala” jest często używany aby opisać unitarność dowolnej transformaty Fouriera, zwłaszcza w fizyce i inżynierii. to bardziej właściwym terminem dla tej własności jest twierdzenie Plancherela^[4].

Opis twierdzenia Parsevala

Jeżeli funkcje ${\displaystyle A(x)}$ i ${\displaystyle B(x)}$ całkowalne z kwadratem (w sensie miary Lebesgue’a) o wartościach zespolonych nad R, okresowe o okresie ${\displaystyle 2\pi ,}$ zapiszemy za pomocą szeregów Fouriera

${\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}}$

oraz

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx},}$

to zachodzi równość

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }A(x){\overline {B(x)}}dx,}$

gdzie ${\displaystyle i}$ oznacza jednostkę urojoną a pozioma kreska nad wyrażeniem oznacza sprzężenie zespolone.

Ta postać twierdzenia występuje w literaturze pod nazwą uogólnione twierdzenie Rayleigha, natomiast nazwa twierdzenie Parsevala, zwanego również twierdzeniem o energii dotyczy przypadku szczególnego, w którym za ${\displaystyle B(x)}$ jest podstawione ${\displaystyle A(x)}$^[5].

Zapis stosowany w inżynierii i fizyce

W fizyce i inżynierii twierdzenie Parsevala często jest zapisywane jako:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}df,}$

gdzie ${\displaystyle X(f)={\mathcal {F}}\{x(t)\}}$ przedstawia ciągłą transformację Fouriera (w unormowanej, unitarnej postaci) z ${\displaystyle x(t),}$ a ${\displaystyle f}$ przedstawia składową częstotliwości (nie pulsację) w ${\displaystyle x.}$

Interpretacja takiego zapisu jest taka, że całkowita energia zawarta w sygnale ${\displaystyle x(t)}$ w całym przedziale czasu jest równa sumie energii składowych uzyskanych z transformacji Fouriera zsumowanych w całym przedziale częstotliwości ${\displaystyle f.}$

Dla sygnałów dyskretnych twierdzenie przyjmuje postać:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X(e^{i\phi })|^{2}d\phi ,}$

gdzie ${\displaystyle X}$ jest dyskretną w czasie transformacją Fouriera (DTFT) z ${\displaystyle x,}$ a ${\displaystyle \phi }$ oznacza pulsację (w radianach na sekundę) w ${\displaystyle x.}$

Alternatywną formą jest postać dla dyskretnej transformacji Fouriera:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2},}$

gdzie ${\displaystyle X[k]}$ to DFT z ${\displaystyle x[n]}$ oraz obie tablice są o długości ${\displaystyle N.}$

Przypisy

1. Marc-Antoine Parseval des Chênes. Mémoire sur les séries et sur l’intégration complète d’une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants. „Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savans, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savans étrangers)”. 1, 1806. brak numeru strony
2. Łysik 2007 ↓, s. 22–23.
3. Artykuł był przedstawiony przed Francuską Akademią Nauk w Paryżu 5 kwietnia 1799.
4. Michel Plancherel. Contribution a l’etude de la representation d’une fonction arbitraire par les integrales définies. „Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo”. 30, s. 298–335, 1910. 
5. Szabatin 2005 ↓, s. 72.

Bibliografia

• JerzyJ. Szabatin JerzyJ., Przetwarzanie sygnałów [online], 4 lutego 2005 [dostęp 2013-03-03] [zarchiwizowane z adresu 2007-02-06] .
• GrzegorzG. Łysik GrzegorzG., Szeregi Fouriera [online], 1 lutego 2007 [dostęp 2013-03-03] [zarchiwizowane z adresu 2011-06-26] .

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Parseval’s Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• Parseval equality (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].