Twierdzenie o aproksymacji symplicjalnej

W topologii algebraicznej twierdzenie o aproksymacji symplicjalnej mówi, że dowolne przekształcenie ciągłe między realizacjami kompleksów symplicjalnych da się dobrze przybliżyć przez odwzorowanie symplicjalne.

Definicje

Gwiazdą wokół wierzchołka dla danego wierzchołka ${\displaystyle s}$ kompleksu symplicjalnego ${\displaystyle K}$ nazywamy podkompleks składający się z wszystkich simpleksów ${\displaystyle K,}$ które zawierają wierzchołek ${\displaystyle s.}$ Gwiazdę wokół wierzchołka ${\displaystyle s}$ oznaczamy ${\displaystyle St(s).}$

Aproksymacją symplicjalną funkcji ciągłej ${\displaystyle g\colon |K|\to |L|}$ nazywamy takie odwzorowanie symplicjalne ${\displaystyle f\colon K\to L}$ (tj. takie, odwzorowanie wierzchołków ${\displaystyle f\colon K\to L.}$ że jeśli sympleks ${\displaystyle \sigma \in K}$ jest sympleksem to ${\displaystyle f(\sigma )}$ jest sympleksem w ${\displaystyle L}$), że spełniony jest następujący warunek:

${\displaystyle \forall v:g(St(v))\subset St(f(v)).}$

Treść twierdzenia

Niech ${\displaystyle K}$ będzie skończonym kompleksem symplicjalnym, a ${\displaystyle f\colon |K|\to |L|}$ odwzorowaniem ciągłym. Wówczas istnieje takie ${\displaystyle n\geqslant 0}$ oraz odwzorowanie symplicjalne ${\displaystyle g\colon K^{(n)}\to L}$ będące aproksymacją symplicjalną ${\displaystyle f,}$ gdzie ${\displaystyle K^{(n)}}$ jest ${\displaystyle n}$-tym podziałem barycentrycznym kompleksu ${\displaystyle K.}$

Zastosowania

Jeśli ${\displaystyle K}$ jest kompleksem symplicjalnym o wymiarze ${\displaystyle n,}$ a ${\displaystyle L}$ jest kompleksem symplicjalnym o wymiarze ${\displaystyle m}$ oraz ${\displaystyle n<m,}$ to z twierdzenia o aproksymacji symplicjalnej wynika, że dla dowolnej ciągłej funkcji ${\displaystyle f\colon |K|\to |L|}$ istnieje homotopijne z nią odwzorowanie ${\displaystyle g,}$ które nie jest suriekcją. W szczególności, wszystkie funkcje ciągłe ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{m}}$ dla ${\displaystyle n<m}$ są nieistotne (tj. homotopijne z odwzorowaniem stałym), bo ich obraz zawiera się w pewnej sferze z wyjętym punktem, a ta jest ściągalna.

Bibliografia

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79160-X. Brak numerów stron w książce
• Peter May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, 1999. ISBN 0-226-51183-9. Brak numerów stron w książce
• Marian Mrozek: Topologia. 2012. s. 84 5.3.7 Aproksymacja symplicjalna. [dostęp 2019-01-24].
• Roman Duda: Wprowadzenie do Topologii. Część I. Topologia ogólna. PWN, 1986. Brak numerów stron w książce