Twierdzenie o pizzy

8 kawałków: pole żółte = pole fioletowe.

Dowód podany przez Cartera i Wagona w 1994 r.^[1]

Twierdzenie o pizzy (ang. pizza theorem) – twierdzenie mówiące o równości pól dwóch obszarów w pewnych podziałach koła.

Niech ${\displaystyle n}$ będzie liczbą naturalną podzielną przez ${\displaystyle 4}$ i nie mniejszą od ${\displaystyle 8}$. Wówczas, jeżeli

• koło podzielono na ${\displaystyle n}$ obszarów za pomocą ${\displaystyle n}$ półprostych wychodzących z jednego punktu (może to być dowolny punkt wewnątrz koła),
• kąty między każdymi dwoma kolejnymi półprostymi mają równe miary (${\displaystyle 360/n^{\circ }}$ każdy),
• wycinki między kolejnymi półprostymi ponumerowano kolejnym liczbami naturalnymi od ${\displaystyle 1}$ do ${\displaystyle n}$ (dowolnie wybierając obszar o numerze ${\displaystyle 1}$),

to suma pól obszarów o numerach nieparzystych jest równa sumie pól obszarów o numerach parzystych^[2].

Twierdzenie to zawdzięcza swoją nazwę temu, że może zostać wykorzystane do sprawiedliwego podziału okrągłej pizzy pomiędzy dwie osoby.

Uogólnienie

12 kawałków można rozdzielić po równo między 2 oraz 3 osoby.

Mabry i Deiermann (2009)^[3] rozwiązali problem Cartera i Wagona (1994)^[4] i uściślili twierdzenie, określając który z dwóch wyborów daje większą powierzchnię w przypadku, gdy obszary te nie są równe. Jeśli n mod 8 = 2 oraz żadne cięcie nie przechodzi przez środek koła to podzbiór wycinków z wycinkiem zawierającym centrum ma mniejszą powierzchnię niż drugi podzbiór. Jeśli n mod 8 = 6 i żadne cięcie nie przechodzi przez środek, to podzbiór z wycinkiem zawierającym środek ma większy obszar. Nieparzystej liczby wycinków nie da się uzyskać w wyniku cięć prostoliniowych, a cięcie przez środek powoduje, że oba podzbiory są równe bez względu na liczbę wycinków.

Hirschhorn zauważył również, że n kawałków pizzy (dla n podzielnego przez 4) można rozdzielić po równo między n/4 osób^[5], np. 12 kawałków można rozdzielić po równo między 2 oraz 12/4=3 osoby.

Zobacz też

• jeden dzieli, drugi wybiera

Przypisy

1. Larry Carter, Stan Wagon. Proof without Words: Fair Allocation of a Pizza. „Mathematics Magazine”. 67 (4), 1994. (ang.). brak numeru strony
2. L. J. Upton. Problem 660. „Mathematics Magazine”. 41 (1), s. 41, 1968. (ang.).  Solution by Michael Goldberg
3. Rick Mabry, Paul Deiermann. Of Cheese and Crust: A Proof of the Pizza Conjecture and Other Tasty Results. „American Mathematical Monthly”. 116 (5), s. 423–438, 2009. (ang.). 
4. Larry Carter, Stan Wagon. Problem 1457. „Mathematics Magazine”. 67 (4), 1994. (ang.). brak numeru strony
5. J. Hirschhorn, M. D. Hirschhorn, J. K. Hirschhorn, A. D. Hirschhorn i inni. The pizza theorem. „Austral. Math. Soc. Gaz.”. 26, s. 120–121, 1999. (ang.).