Twierdzenie o zbiorze wypukłym

Twierdzenie o zbiorze wypukłym – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że każdy niepusty zbiór domknięty i wypukły w przestrzeni Hilberta zawiera jeden i tylko jeden element o najmniejszej normie^[1].

Wynik ten znajduje zastosowanie m.in. w dowodzie twierdzenia o rzucie ortogonalnym mającym swoje implikacje np. w rachunku prawdopodobieństwa (wykorzystywanym w jednym z dowodów istnienia warunkowej wartości oczekiwanej). Twierdzenie o zbiorze wypukłym lub, równoważnie, wynikające z niego twierdzenie najlepszej aproksymacji daje stosunkowo krótki dowód twierdzenia Brouwera o punkcie stałym dla dowolnego przekształcenia zwartego zbioru wypukłego ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ w siebie^{[wymaga doprecyzowania]} (${\displaystyle n}$-wymiarowa przestrzeń euklidesowa jest przestrzenią Hilberta).

Dowód

Niech ${\displaystyle C}$ będzie niepustym, domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni Hilberta ${\displaystyle H,}$ zaś ${\displaystyle d=\inf _{c\in C}\|c\|}$ oznacza infimum norm elementów tego zbioru.

Jednoznaczność

Niech ${\displaystyle x,y\in C}$ będą dwoma elementami, które spełniają ${\displaystyle \|x\|=\|y\|=d;}$ z (zachodzącej w ${\displaystyle H}$) reguły równoległoboku zastosowanej do ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}},{\tfrac {y}{2}}}$ wynika, że

${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\|x-y\|^{2}={\tfrac {1}{2}}\|x\|^{2}+{\tfrac {1}{2}}\|y\|^{2}-{\big \|}{\tfrac {1}{2}}(x+y){\big \|}^{2},}$

a ponieważ ${\displaystyle C}$ jest wypukły, to ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x+y)\in C,}$ czyli

${\displaystyle \|x-y\|^{2}\leqslant 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}-4d^{2},}$

co oznacza, iż ${\displaystyle x=y,}$ gdyż prawa strona jest równa zeru.

Istnienie

Z definicji ${\displaystyle d}$ istnieje ciąg ${\displaystyle (y_{n})}$ spełniający ${\displaystyle \|y_{n}\|\to d;}$ z powyższej nierówności wynika inna,

${\displaystyle \|y_{n}-y_{m}\|^{2}\leqslant 2\|y_{n}\|^{2}+2\|y_{m}\|^{2}-4d^{2},}$

która pociąga za sobą warunek Cauchy’ego dla ciągu ${\displaystyle (y_{n}),}$ a z zupełności ${\displaystyle H}$ jest ${\displaystyle y_{n}\to y_{0}}$ dla pewnego elementu ${\displaystyle y_{0},}$ który należy do zbioru ${\displaystyle C}$ na mocy jego domkniętości (i niepustości); jest on poszukiwanym elementem o minimalnej normie, ponieważ ${\displaystyle \|y_{n}\|\to \|y_{0}\|.}$

Aproksymacja i rzut

Powyższe twierdzenie można sformułować w nieco inny sposób uzyskując

Twierdzenie o najlepszej aproksymacji

Dla każdego ${\displaystyle h\in H}$ istnieje jeden i tylko jeden element ${\displaystyle a\in C,}$ dla którego zachodzi

${\displaystyle \|h-a\|=\mathrm {dist} _{C}\ h,}$

gdzie ${\displaystyle \mathrm {dist} _{C}\ h=\inf _{c\in C}\|h-c\|}$ oznacza odległość^[a] elementu ${\displaystyle h}$ od zbioru ${\displaystyle C.}$

Element ${\displaystyle a}$ nazywa się elementem najlepszej aproksymacji dla ${\displaystyle h}$ (tzn. najlepiej przybliżającym ${\displaystyle h}$ w sensie odległości). W twierdzeniu o zbiorze wypukłym aproksymowany jest w istocie element ${\displaystyle h=0}$ (ma on najniższą, zerową normę spośród elementów ${\displaystyle H}$ i jest to jedyny element o tej normie), wystarczy więc rozpatrzeć translację ${\displaystyle C+h}$ zbioru ${\displaystyle C}$ dla dowolnie wybranego elementu ${\displaystyle h\in H.}$

Jednoznacznie wyznaczony element ${\displaystyle a}$ nazywa się też rzutem elementu ${\displaystyle h}$ na (domknięty i wypukły) zbiór ${\displaystyle C}$ i oznacza ${\displaystyle \mathrm {Pr} _{C}\ h}$^[b][1]. Jeśli ${\displaystyle F\subseteq H}$ jest domkniętym podzbiorem ${\displaystyle H,}$ to ${\displaystyle a=\mathrm {Pr} _{F}\ h}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ${\displaystyle x\in F}$ zachodzi nierówność^[1]

${\displaystyle \langle a,x-a\rangle \geqslant \langle h,x-a\rangle .}$

Nazwa „rzut” (i oznaczenie ${\displaystyle \mathrm {Pr} }$) bierze się z tego, że odwzorowanie ${\displaystyle \mathrm {Pr} _{C}(\cdot )}$ jest odwzorowaniem zwężającym, a stąd ciągłym, a ponadto jest idempotentne na ${\displaystyle C,}$ tj. ${\displaystyle \mathrm {Pr} _{C}\ C=C,}$ co oznacza, że odwzorowanie to jest retrakcją^[1].

Uwagi

1. Zob. metryka Hausdorffa.
2. Od projekcja.

Przypisy

1. David Kinderlehrer, Guido Stampacchia: An introduction to variational inequalities. Moskwa: Mir, 1983, s. 16–17.

Bibliografia

• Julian Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989, s. 79–80