Wielokąt Petriego

Wielokąt Petriego dla foremnego wielotopu ${\displaystyle n}$-wymiarowego – wielokąt skośny, którego każde kolejne ${\displaystyle (n-1)}$ boków (ale nie ${\displaystyle n}$) należy do pewnej komórki wielotopu. Wielokąt Petriego dla wielokąta foremnego to ten sam wielokąt foremny, natomiast wielokąt Petriego dla wielościanu foremnego to wielokąt skośny, którego każde kolejne 2 (ale nie 3) boki należą do pewnej ściany wielościanu.

Dla każdego foremnego wielotopu istnieje jego rzut prostokątny na płaszczyznę, w którym wielokąt Petriego przechodzi na wielokąt foremny, a cała reszta jest zrzutowana do jego wnętrza. Wspominana płaszczyzna jest płaszczyzną Coxetera, będącą jedną z płaszczyzn symetrii wielotopu. Natomiast liczba ścian wielokąta (zwyczajowo oznaczana przez ${\displaystyle h}$) jest liczbą Coxetera z grupy Coxetera. Te wielokąty i ich rzuty są przydatne w wizualizacji struktur symetrii wielotopów z wyższych wymiarów.

Wielokąty Petriego dla wielościanów foremnych

Dla wielokąta Petriego wielościanu foremnego o symbolu Schläfliego ${\displaystyle \{p,q\}}$ mającego ${\displaystyle h}$ ścian zachodzi wzór:

${\displaystyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{h}}\right)=\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)+\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right).}$

Szkic dowodu

Niech wielościan ${\displaystyle \{q,p\}}$ powstaje przez odwzajemnienie (ang. reciprocation) ${\displaystyle \{p,q\}}$ względem jego sfery półwpisanej. Część wspólna wielościanów ${\displaystyle \{p,q\}}$ i ${\displaystyle \{q,p\}}$ razem z wnętrzem tworzy quasiforemny wielościan ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}},}$ którego wierzchołkami są środki krawędzi zarówno ${\displaystyle \{p,q\},}$ jak i ${\displaystyle \{q,p\}.}$ Jego ściany są linkami (ang. vertex figures) wyjściowych wielościanów, czyli ${\displaystyle p}$-kątami foremnymi i ${\displaystyle q}$-kątami foremnymi. Z każdego wierzchołka wychodzą 4 krawędzie, dwie będące kolejnymi bokami ${\displaystyle p}$-kąta i dwie ${\displaystyle q}$-kąta. Zatem vertex figure ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ jest prostokątem. Przeciwległe wierzchołki tego prostokąta są środkami boków dwóch kolejnych boków ${\displaystyle h}$-kąta. Boki tego prostokąta mają długości ${\displaystyle L\cdot \cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)}$ oraz ${\displaystyle L\cdot \cos \left({\frac {\pi }{q}}\right),}$ gdzie ${\displaystyle L}$ jest długością krawędzi wielościanów ${\displaystyle \{p,q\}}$ i ${\displaystyle \{q,p\}.}$ Przekątną prostokąta jest linkiem ${\displaystyle h}$-kąta, czyli odcinkiem o długości ${\displaystyle L\cdot \cos \left({\frac {\pi }{h}}\right).}$ Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

${\displaystyle L^{2}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{h}}\right)=L^{2}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)+L^{2}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right).}$

Inne wzory na ilość boków wielokąta Petriego wielościanu ${\displaystyle \{p,q\}}$

${\displaystyle h={\sqrt {\frac {2(p+q)+7pq}{2(p+q)-pq}}}-1,}$

${\displaystyle h={\sqrt {4N+1}}-1,}$

gdzie ${\displaystyle N}$ – liczba krawędzi wielościanu.

Wielokąty Petriego dwóch wielościanów dualnych są takie same. Wielokąty Petriego wielościanów foremnych: czworościanu to kwadrat, sześcianu i ośmiościanu to sześciokąt foremny, a dwunastościanu i dwudziestościanu to dziesięciokąt foremny.

Bibliografia

• Harold S.M. Coxeter, Regular Polytopes.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Petrie Polygon, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).