Wyprowadzenie rozwiązania Schwarzschilda

Rozwiązanie Schwarzschilda – to rozwiązanie równań pola Einsteina, podające postać metryki czasoprzestrzeni w pobliżu nierotującego, masywnego, sferyczno-symetrycznego ciała. Spośród rozwiązań równań pola Einsteina rozwiązanie to jest uważane za jedno z najprostszych, a zarazem najbardziej użytecznych.

Założenia

Współrzędne sferyczne oraz czas ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)}$ będą numerowane indeksami od 1 do 4. Metryka w ogólności ma 10 niezależnych składników, które są gładkimi funkcjami 4 zmiennych. Zakłada się tu, że rozwiązanie na metrykę jest sferycznie symetryczne, statyczne (niezmienne w czasie) oraz dotyczy próżni; konsekwencją tego jest, że:

1. sferycznie symetryczna czasoprzestrzeń jest niezmienna przy obrotach i przy odbiciach lustrzanych,
2. niezależność składowych metryki od czasu oznacza, że ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}g_{\mu \nu }=0,}$ a także, że geometria czasoprzestrzeni nie zmienia się przy odwróceniu czasu ${\displaystyle t\to -t,}$
3. rozwiązanie w próżni oznacza, że ${\displaystyle T_{ab}=0;}$ z równań Einsteina wynika (przy założeniu zerowej wartości stałej kosmologicznej), że ${\displaystyle R_{ab}=0}$ ponieważ kontrakcja równania ${\displaystyle R_{ab}-{\tfrac {R}{2}}g_{ab}=0}$ daje ${\displaystyle R=0.}$

W artykule użyto sygnatury metryki (+,+,+,−).

Diagonalność metryki

Pierwszym krokiem jest zauważenie, że metryka jest diagonalna.

Uzasadnienie:

(1) Pod wpływem odwrócenia czasu ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\to (r,\theta ,\phi ,-t)}$ wszystkie składniki metryki powinny zostać bez zmian. Składowe ${\displaystyle g_{\mu 4}\;(\mu \neq 4)}$ zmieniają się jednak pod wpływem tej transformacji, bo

${\displaystyle g_{\mu 4}'={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{'\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{'4}}}g_{\alpha \beta }=-g_{\mu 4}\;(\mu \neq 4),}$

natomiast bez zmian pozostaje składowa czasowa

${\displaystyle g'_{44}=g_{44}.}$

Ostatecznie wiec mamy

${\displaystyle g_{\mu 4}=0\;(\mu \neq 4).}$

(2) Podobnie, transformacja współrzędnych przestrzennych ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\to (r,\theta ,-\phi ,t)}$ oraz ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\to (r,-\theta ,\phi ,t)}$ prowadzi do wniosku, że:

${\displaystyle g_{\mu 3}=0\;(\mu \neq 3),}$

${\displaystyle g_{\mu 2}=0\;(\mu \neq 2).}$

(3) Podobnie dla symetrycznych składników tensorami metrycznego mamy

${\displaystyle g_{4\mu }'={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{'4}}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{'\mu }}}g_{\alpha \beta }=-g_{4\mu }\;(\mu \neq 4),}$

co oznacza że

${\displaystyle g_{4\mu }=0\;(\mu \neq 4)}$

itd.

(4) Zbierając powyższe wyniki, mamy:

${\displaystyle g_{\mu \nu }=0\;(\mu \neq \nu ),}$

czyli metryka ma postać diagonalną ${\displaystyle ds^{2}=g_{11}\,dr^{2}+g_{22}\,d\theta ^{2}+g_{33}\,d\phi ^{2}+g_{44}\,dt^{2},}$

przy czym składowe metryki są niezależne od czasu ${\displaystyle t}$ (statyczne rozwiązanie).

Upraszczanie składników

Na każdej hiperpowierzchni o stałym czasie ${\displaystyle t,}$ stałym ${\displaystyle \theta }$ oraz stałym ${\displaystyle \phi }$ (tj. na każdej linii radialnej), ${\displaystyle g_{11}}$ powinno zależeć tylko od ${\displaystyle r}$ (ze względu na symetrię sferyczną). Dlatego ${\displaystyle g_{11}}$ jest funkcją tylko jednej zmiennej ${\displaystyle g_{11}=A(r).}$ Podobny argument stosuje się do ${\displaystyle g_{44}{:}}$

${\displaystyle g_{44}=B(r).}$

Na hiperpowierzchni o stałym czasie ${\displaystyle t}$ oraz stałym ${\displaystyle r,}$ metryka musi być metryką 2-wymiarowej sfery:

${\displaystyle dl^{2}=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}).}$

Wybierając jedną z tych hiperpowierzchni (np. mającą promień ${\displaystyle r_{0}}$), składniki metryki ograniczonej do hiperpowierzchni (które oznaczymy przez ${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}}$ oraz ${\displaystyle {\tilde {g}}_{33}}$) powinny pozostać bez zmian przy obrotach o kąty ${\displaystyle \theta }$ oraz ${\displaystyle \phi }$ (ponownie na skutek symetrii sferycznej). Porównując formę metryki na tej hiperpowierzchni, otrzymamy

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}\left(d\theta ^{2}+{\frac {{\tilde {g}}_{33}}{{\tilde {g}}_{22}}}\,d\phi ^{2}\right)=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}),}$

co natychmiast daje

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}=r_{0}^{2}}$ oraz ${\displaystyle {\tilde {g}}_{33}=r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta .}$

Ale ponieważ musi być to słuszne na dowolnej hiperpowierzchni, to

${\displaystyle g_{22}=r^{2}}$ oraz ${\displaystyle g_{33}=r^{2}\sin ^{2}\theta .}$

Alternatywny sposób: można intuicyjnie zrozumieć, że ${\displaystyle g_{22}}$ oraz ${\displaystyle g_{33}}$ muszą być takie same jak dla płaskiej czasoprzestrzeni, jeżeli spostrzeżemy, że rozciąganie lub ściskanie elastycznej piłki w radialnie nie zmienia kątowych odległości między jej punktami. Dlatego metryka musi mieć postać

${\displaystyle ds^{2}=A(r)dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+B(r)dt^{2},}$

gdzie ${\displaystyle A}$ oraz ${\displaystyle B}$ są pewnymi funkcjami ${\displaystyle r.}$ Zauważmy, że jeżeli ${\displaystyle A}$ lub ${\displaystyle B}$ byłyby równe zeru w pewnym punkcie, to metryka byłaby w tym punkcie osobliwa.

Obliczanie symboli Christoffela

Za pomocą powyższej metryki obliczamy symbole Christoffela, przy czym indeksy są następujące:${\displaystyle (1,2,3,4)=(r,\theta ,\phi ,t);}$ znak ${\displaystyle '}$ oznacza pochodną zupełną funkcji:

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{1}={\begin{bmatrix}A'/(2A)&0&0&0\\0&-r/A&0&0\\0&0&-r\sin ^{2}\theta /A&0\\0&0&0&-B'/(2A)\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{2}={\begin{bmatrix}0&1/r&0&0\\1/r&0&0&0\\0&0&-\sin \theta \cos \theta &0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1/r&0\\0&0&\operatorname {ctg} \theta &0\\1/r&\operatorname {ctg} \theta &0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&B'/(2B)\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\B'/(2B)&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Użycie równań pola do znalezienia A(r) oraz B(r)

Aby określić funkcje ${\displaystyle A}$ oraz ${\displaystyle B,}$ używamy równań pola w próżni, tj.

${\displaystyle R_{\alpha \beta }=0.}$

Stąd

${\displaystyle \Gamma _{\beta \alpha ,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho \alpha ,\beta }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }-\Gamma _{\beta \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \alpha }^{\lambda }=0,}$

gdzie symbole po przecinku oznaczają pochodne po zmiennej o danym indeksie. Tylko trzy spośród tych równań są nietrywialne i po uproszczeniu przyjmują postać

(1) ${\displaystyle 4A'B^{2}-2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A=0,}$

(2) ${\displaystyle rA'B+2A^{2}B-2AB-rB'A=0,}$

(3) ${\displaystyle -2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A-4B'AB=0.}$

czwarte równanie jest równe ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ mnożone równanie (2), gdzie apostrof oznacza pochodną funkcji po r. Dodając równania (1) i (3), dostajemy

${\displaystyle A'B+AB'=0\Rightarrow A(r)B(r)=K,}$

gdzie ${\displaystyle K}$ jest stałą rzeczywistą, różną od zera. Podstawienie ${\displaystyle A(r)B(r)=K}$ do równania (2) daje równanie

${\displaystyle rA'=A(1-A),}$

które ma ogólne rozwiązanie

${\displaystyle A(r)=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1},}$

dla pewnych niezerowych wartości ${\displaystyle S.}$ Stąd metryka dla stałych, sferycznie symetrycznych rozwiązań w próżni przyjmuje postać:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})+K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)dt^{2}.}$

Zauważmy, że czasoprzestrzeń o takiej metryce jest asymptotycznie płaska, tj. dla ${\displaystyle r\to \infty }$ metryka przechodzi w metrykę Minkowskiego i rozmaitość czasoprzestrzeni staje się przestrzenią Minkowskiego.

Zobacz też

• linie geodezyjne w metryce Schwarzschilda
• metryka Schwarzschilda
• równanie Einsteina
• współrzędne krzywoliniowe

Bibliografia

• James B. Hartle: Grawitacja. Wprowadzenie do ogólnej teorii względności Einsteina. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010. ISBN 978-83-2350476-4.
• Sean M. Carroll: Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. San Francisco: Addison-Wesley, 2004. ISBN 0-8053-8732-3.brak strony w książce
• Øyvind Grøn, Sigbjørn Hervik: Einstein’s General Theory of Relativity. New York: Springer, 2007. ISBN 978-0-387-69199-2.brak strony w książce
• Lev D. Landau, Evgeny F. Lifshitz: Teoria pola. Wyd. 4. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 0-7506-2768-9.brak strony w książce
• Charles W. Misner, Kip. S. Thorne, John A. Wheeler: Gravitation (book). W. H. Freeman, 1973. ISBN 0-7167-0344-0.brak strony w książce
• Hans Stephani: General Relativity: An Introduction to the Theory of the Gravitational Field. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. ISBN 0-521-37941-5.brak strony w książce
• Robert M. Wald: General Relativity (book). University of Chicago Press, 1984. ISBN 0-226-87033-2.brak strony w książce

Linki zewnętrzne

• Waner, Stefan, Introduction to Differential Geometry & General Relativity (PDF) Od 2015-04-05.