Zakaz usuwania

Zakaz usuwania (ang. no-deleting theorem) – twierdzenie mówiące, że mając dwie kopie nieznanego stanu kwantowego nie można usunąć jednej z nich^[1]. Jest dopełnieniem zakazu klonowania^[2][3], zgodnie z którym nie można skopiować nieznanego stanu kwantowego, jak i zakazu ukrywania, zgodnie z którym informacja kwantowa usunięta z systemu kwantowego do środowiska nie może pozostawać w korelacji pomiędzy systemem a środowiskiem.

Twierdzenie

Poszukujemy transformacji pozwalającej na usunięcie jednej z dwóch kopii nieznanego stanu kwantowego ${\displaystyle |\psi \rangle }$ (zob. Notacja Diraca) poprzez zastąpienie jej stanem standardowym ${\displaystyle |0\rangle .}$ W odróżnieniu od twierdzenia o zakazie klonowania wprowadzamy tu dodatkowy kubit pomocniczy ${\displaystyle |A\rangle _{C}}$ określający stan maszyny usuwającej i dopuszczamy możliwość zmiany stanu ${\displaystyle |A\rangle _{C}}$ na ${\displaystyle |A_{\psi }\rangle _{C}}$ w wyniku tej transformacji.

Twierdzenie: Nie istnieje uniwersalna liniowa i izometryczna (nie zakładamy, że unitarna) transformacja

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}\to |\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{\psi }\rangle _{C},}$

w wyniku działania której dowolny, nieznany stan ${\displaystyle |\psi \rangle _{B}}$ zostałby zastąpiony stanem ${\displaystyle |0\rangle _{B},}$ tj. usunięty.

Dowód: Rozważmy usuwanie pojedynczego kubitu:

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle .}$

Transformacja, której poszukujemy powinna usunąć kopię ${\displaystyle |\psi \rangle _{B}}$ tego kubitu w każdym z jego stanów standardowych ${\displaystyle |0\rangle }$ i ${\displaystyle |1\rangle ,}$ tj.

${\displaystyle |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A\rangle _{C}\to |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C},}$

${\displaystyle |1\rangle _{A}|1\rangle _{B}|A\rangle _{C}\to |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}.}$

Dla kubitu o dowolnym stanie na jej wejściu mamy:

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=\alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A\rangle _{C}+\beta ^{2}|1\rangle _{A}|1\rangle _{B}|A\rangle _{C}+\alpha \beta |0\rangle _{A}|1\rangle _{B}|A\rangle _{C}+\alpha \beta |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A\rangle _{C}.}$

Z drugiej strony, ponieważ poszukiwana transformacja jest liniowa, wykorzystując jej zamierzone działanie dla stanów spolaryzowanych, na jej wyjściu otrzymamy:

${\displaystyle \to \alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}+\beta ^{2}|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+{\sqrt {2}}\alpha \beta |\Phi \rangle _{ABC},}$

stosując transformację:

${\displaystyle (|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}|A\rangle _{C}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A\rangle _{C})/{\sqrt {2}}\to |\Phi \rangle _{ABC}.}$

gdzie ${\displaystyle |\Phi \rangle _{ABC}}$ oznacza dowolny znormalizowany stan kwantowy niezależny od ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta .}$

Definicja poszukiwanej transformacji usuwającej zakłada jednak, że w wyniku jej działania powinniśmy otrzymać:

${\displaystyle \to |\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{\psi }\rangle _{C}=(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )|0\rangle _{B}|A_{\psi }\rangle _{C}.}$

Ponieważ stan ${\displaystyle |\Phi \rangle _{ABC}}$ jest niezależny od ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ zatem stan ${\displaystyle |A_{\psi }\rangle _{C}}$ musi być od nich liniowo zależny:

${\displaystyle |A_{\psi }\rangle _{C}=\alpha |A_{0}\rangle _{C}+\beta |A_{1}\rangle _{C},}$

skąd:

${\displaystyle |\Phi \rangle _{ABC}=(|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C})/{\sqrt {2}}.}$

Ponadto stan wynikowy powinien być znormalizowany dla wszystkich ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta ,}$ co oznacza, że stany ${\displaystyle |A_{0}\rangle _{C}}$ i ${\displaystyle |A_{1}\rangle _{C}}$ muszą być ortogonalne. Tym samym liniowość mechaniki kwantowej zapewnia, że poszukiwana transformacja nie usuwa stanu ${\displaystyle |\psi \rangle _{B}=\alpha |0\rangle _{B}+\beta |1\rangle _{B},}$ a jedynie zamienia go na kubit pomocniczy ${\displaystyle |A_{\psi }\rangle _{C}{:}}$

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}\to |\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}(\alpha |A_{0}\rangle _{C}+\beta |A_{1}\rangle _{C}).}$

Zobacz też

• zakaz klonowania
• zakaz ukrywania
• zasada Landauera

Przypisy

1. A.K. Pati, S.L. Braunstein, Impossibility of Deleting an Unknown Quantum State, „Nature” 404 (2000), s. 164.
2. W.K. Wootters, W.H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned, „Nature” 299 (1982), s. 802.
3. D. Dieks, Communication by EPR devices, „Physics Letters A”, vol. 92(6) (1982), s. 271.