Złoty system liczbowy

Złoty system liczbowy – binarny, pozycyjny system liczbowy o podstawie złotej liczby ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}618033989}$.

Zapis liczby w tym systemie nie jest jednoznaczny. Złota liczba spełnia równanie φ² = φ + 1, co oznacza, że podobnie jak w systemie Fibonacciego dwie jedynki na kolejnych miejscach możemy zastąpić jedynką na miejscu wcześniejszym (…011…= …100…). Standardowo zapisuje się liczby w postaci „bez dwu kolejnych jedynek”.

Przykłady – liczby naturalne

• 1_d = φ⁰ = 1_z (indeks d oznacza system dziesiętny, indeks z – złoty)
• 2_d = 2_z = 1,11_z = 10,01_z
• 3_d = 2_d+1_d = 10,01_z+1_z = 11,01_z = 100,01_z
• 4_d = 3_d+1_d = 100,01_z+1_z = 101,01_z
• 5_d = 3_d+2_d = 100,01_z+10,01_z = 110,02_z = 110,0111_z = 1000,1001_z
• 6_d = 1010,0001_z
• 7_d = 10000,0001_z
• 8_d = 10001,0001_z
• 9_d = 10010,0101_z
• 10_d = 10100,0101_z

korzystając z tego, że …0200…_z = …1001…_z znajdziemy zapis liczby 20_d:

• 20_d = 2*10_d = 2*10100,0101_z =20200,0202_z =21001,021001_z = 110001,110001_z = 1000010,010001_z

Spostrzeżenie: we wszystkich powyższych rachunkach korzystaliśmy tylko z tego, że ciąg …011… możemy zastąpić ciągiem …100… taka zamiana jest możliwa też w systemie o podstawie (1-√5)/2, bo ta liczba też jest pierwiastkiem równania x² = x+1. Oznacza to, że dowolna liczba naturalna w systemie złotym i w systemie o podstawie (1-√5)/2 ma taki sam zapis (nie tyczy to wszystkich liczb). Liczba ta jest liczbą ujemną o module mniejszym niż 1, więc „prawie cała wartość” skupi się po przecinku na pozycjach parzystych. Wynika z tego, że wszystkie liczby naturalne większe niż 1 w zapisie w złotym systemie muszą mieć cyfry na parzystych miejscach po przecinku.

Odpowiednik 0,(9) w systemie dziesiętnym

Liczbę 1 możemy zapisać w systemie dziesiętnym jako 0,9999999(9)_d. W systemie złotym zachodzą równości 1_z = 0,11_z = 0,1011_z = 0,101011_z = 0,101010101011_z itd., zatem liczbę 1 można zapisać jako 0,10 10 10 (10)_z

Inne przykłady

0,010 010 010 (010)_z + 0,010 010 010 (010)_z = 0,020 020 020 (020)_z = 0,011 120 020 020_z = 0,100 120 020 (020)_z = 0,101 010 020 020 (020)_z = 0,101 010 011 120 (020)_z = 0,101 010 100 120 (020)_z = 0,101 010 101 010 (020)_z = ... = 0,101 010 101 010 (101 010)_z = 0,10 10 10 10 10 10 (10)_z = 1.

Czyli 2*0,010 010 010 (010)_z = 1, a to oznacza, że 1/2 = 0,010 010 010 (010)_z.

Podobnie można pokazać, że:

1/3 = 0,00101000 00101000 (00101000)