Złożony proces Poissona

Złożony proces Poissona – proces stochastyczny, w którym w losowych momentach czasu (zadanymi procesem Poissona) następuje zmiana o losową wartość, po czym do czasu następnej zmiany wartość procesu jest wielkością stałą^[1].

Definicja

Złożony proces Poissona ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geqslant 0}}$ zadany parametrem ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+}}$ dla dowolnego ${\displaystyle t\geqslant 0}$ postać:

${\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{N_{t}}Y_{i},}$

gdzie:

• ${\displaystyle \{N_{t}\}_{t\geqslant 0}}$ jest procesem Poissona o parametrze ${\displaystyle \lambda ,}$
• ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\dots }$ są niezależnymi zmiennymi o takich samym rozkładzie,
• zmienne ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\dots }$ są również niezależne z danym procesem Poissona.

Własności

Jeżeli ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geqslant 0}}$ jest złożonym procesem Poissona, ma następujące własności:

• dla każdego ${\displaystyle \omega }$ funkcja ${\displaystyle t\mapsto X_{t}(\omega )}$ jest przedziałami stała i prawostronnie ciągła,
• wartość oczekiwana w chwili ${\displaystyle t}$ wynosi: ${\displaystyle EX_{t}=\lambda tEY_{1},}$
• wariancja w chwili ${\displaystyle t}$ wynosi: ${\displaystyle D^{2}X_{t}=\lambda tE(Y_{1}^{2}),}$
• funkcja charakterystyczna w chwili ${\displaystyle t}$ wynosi:

${\displaystyle \phi _{X_{t}}(u)=\exp \left(\lambda tE(e^{iuY_{1}}-1)\right).}$

Związek z procesem Lévy’ego

Złożony proces Poissona jest procesem Lévy’ego. Ponadto jeżeli proces Lévy’ego jest przedziałami stały, jest on złożonym procesem Poissona.

Przypisy

1. R. Cont, P. Tankov, Financial Modelling With Jump Processes, Chapman & Hall/CRC, CRC Press Company, 2004.