Absorção (lógica)

Absorção é uma forma lógica de argumento válido e uma regra de inferencia da lógica proposicional.^[1][2] A regra estabelece que se ${\displaystyle P}$ implica ${\displaystyle Q}$, então ${\displaystyle P}$ implica ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$. A regra torna possível introduzir conjunções em provas. Isto é chamado de lei de absorção visto que o termo ${\displaystyle Q}$ é "absorvido" pelo termo ${\displaystyle P}$ na consequência.^[3] Formalmente:

${\displaystyle {\frac {P\to Q}{\therefore P\to (P\land Q)}}}$

ou seja: sempre uma instância de "${\displaystyle P\to Q}$" aparecer numa linha de alguma prova, "${\displaystyle P\to (P\land Q)}$" pode ser conluído na linha seguinte.

Notação formal

A regra de absorção pode ser expressa como a sequente:

${\displaystyle P\to Q\vdash P\to (P\land Q)}$

onde ${\displaystyle \vdash }$ é um símbolo metalogico significando que ${\displaystyle P\to (P\land Q)}$ é consequência lógica de ${\displaystyle (P\leftrightarrow Q)}$ em algum sistema lógico;

e expresso como uma tautologia ou teorema da lógica proposicional. O princípio foi estabelecido como um teorema da lógica proposicional por Russell e Whitehead em principia mathematica como:

${\displaystyle (P\to Q)\leftrightarrow (P\to (P\land Q))}$

onde ${\displaystyle P}$, e ${\displaystyle Q}$ são proposições expressas em algum sistema lógico.

Exemplos

Se vai chover, então eu levarei meu casaco.
Portanto, se vai chover então vai chover e eu levarei meu casaco.

Prova por tabela-verdade

${\displaystyle P\,\!}$	${\displaystyle Q\,\!}$	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	${\displaystyle P\rightarrow P\land Q}$
v	v	v	v
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	V

Prova formal

Proposição	Derivação
${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Implicação
${\displaystyle \neg P\lor Q}$	Implicação material
${\displaystyle \neg P\lor P}$	Lei do terceiro excluído
${\displaystyle (\neg P\lor P)\land (\neg P\lor Q)}$	Conjunção
${\displaystyle \neg P\lor (P\land Q)}$	Distribuição reversa
${\displaystyle P\rightarrow (P\land Q)}$	Implicação material

References

1. Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic. [S.l.]: Prentice Hall. p. 362 
2. http://www.philosophypages.com/lg/e11a.htm
3. Russell and Whitehead, Principia_mathematica