Ação Nambu-Goto

Série de artigos sobre
Teoria das cordas
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v d e

A ação Nambu-Goto é uma quantidade matemática que pode ser usada para predizer como as cordas se movem através do espaço e do tempo.

Ela é a ação mais simples que descreve uma corda relativistica.^[1] Pela aplicação das ideias da mecânica quântica às ações Nambu-Goto (um procedimento conhecido como quantização) pode-se deduzir que cada corda pode vibrar em muitos diferentes modos, e que cada estado vibracional representa uma partícula diferente.^[2] Esta ação é a mais simples invariante ação na teoria das cordas bosônica.^[3] Ela, para uma corda clássica, a qual possui claramente uma interpretação geométrica, a partir desta ação, que se deduz uma ação mais geral, a ação de Polyakov, e pode ser demonstrado que estas duas são classicamente equivalentes. A ação Nambu-Goto também é usada em outras teorias que investigam objetos-cordas (por exemplo, cordas cósmicas).^{[nota 1]} É o ponto de partida da análise de comportamento zero-espessura (infinitamente fina) das cordas, usando os princípios da mecânica de Lagrange.^[4] Assim como a ação para uma partícula de ponto livre é proporcional ao seu tempo apropriado, ou seja, o "tamanho" de seu mundo-linha, uma relativista ação da corda é proporcional à área da folha que a corda traça, enquanto que viaja através do espaço-tempo.^[5] A ação deve o seu nome aos físicos japoneses Yoichiro Nambu e Goto Tetsuo.^[6]

Definição

A ação Nambu-Goto é uma ação funcional para modelos sigma^[7] com o espaço alvo uma pseudovariedade de Riemann^[8][9]${\displaystyle (X,g)(X,g)}$: Isto é o volume induzido funcional

${\displaystyle S_{NG}:(\Sigma {\stackrel {\gamma }{\to }}X)\mapsto \int _{\Sigma }dvol(\gamma ^{*}g)\,,}$

onde ${\displaystyle dvol(\gamma ^{*}g)}$ é a forma de volume^[10][11] da retração ${\displaystyle (\gamma ^{*}g)}$ do tensor métrico a partir de ${\displaystyle X}$ para ${\displaystyle \Sigma }$.^[12]

Folha de universo

Yoichiro Nambu (2008)

Assim como um zero-dimensional traça um mundo-linha em um diagrama espaço-tempo, uma corda unidimensional é representada por uma folha de universo.^[13]

Todas as folha de universo são superfícies bidimensionais, e requerem dois parâmetros para especificar um ponto na folha. Os teóricos das cordas usam os símbolos τ e σ para estes parâmetros. Como se vê, as teorias de cordas envolvem superiores espaços dimensionais que o do mundo 3D com o qual estamos familiarizados; teoria das cordas bosônicas requer 25 dimensões espaciais e um eixo de tempo. Se d é o número de dimensões espaciais, podemos representar um ponto pelo vetor

${\displaystyle x=(x^{0},x^{1},x^{2},\ldots ,x^{d}).}$

Descrevemos uma corda usando funções que mapeiam uma posição no espaço paramétrico (τ, σ) para um ponto no espaço-tempo. Para cada valor de τ e σ, estas funções especificam um único vetor espaço-tempo:

${\displaystyle X(\tau ,\sigma )=(X^{0}(\tau ,\sigma ),X^{1}(\tau ,\sigma ),X^{2}(\tau ,\sigma ),\ldots ,X^{d}(\tau ,\sigma )).}$

As funções ${\displaystyle X^{\mu }(\tau ,\sigma )}$ determinam a forma que a folha de universo toma. Diferentes Lorentz observadores vão discordar sobre as coordenadas que atribuem a pontos particulares n a folha de universo, mas todos eles devem concordar com a área total que a folha de universo possui. A ação Nambu-Goto é escolhida para ser proporcional a esta área total.

Seja ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ a métrica (d +1)-espaço-tempo dimensional. Então,

${\displaystyle g_{ab}=g_{\mu \nu }{\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma ^{a}}}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial \sigma ^{b}}}\ }$

é a métrica induzida^{[nota 2]} na folha de universo da corda.

A área ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ d a folha de universo é dada por:

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {A}}=\mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}}$

onde ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\Sigma =\mathrm {d} \sigma \,\mathrm {d} \tau }$ e ${\displaystyle g=\mathrm {det} \left(g_{ab}\right)\ }$

Usando a notação que:

${\displaystyle {\dot {X}}={\frac {\partial X}{\partial \tau }}}$

e

${\displaystyle X'={\frac {\partial X}{\partial \sigma }},}$

pode-se reescrever a métrica ${\displaystyle g_{ab}}$:

${\displaystyle g_{ab}=\left({\begin{array}{cc}{\dot {X}}^{2}&{\dot {X}}\cdot X'\\X'\cdot {\dot {X}}&X'^{2}\end{array}}\right)\ }$

${\displaystyle g={\dot {X}}^{2}X'^{2}-({\dot {X}}\cdot X')^{2}}$

a ação Nambu-Goto é definida como,

${\displaystyle {\mathcal {S}}\ }$

${\displaystyle =-{\frac {T_{0}}{c}}\int d{\mathcal {A}}}$

${\displaystyle =-{\frac {T_{0}}{c}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}}$

${\displaystyle =-{\frac {T_{0}}{c}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}.\ }$

Os fatores antes da integral dá a ação as unidades corretas, energia multiplicada pelo tempo. T₀ é a tensão na corda, e c é a velocidade da luz. Normalmente, os teóricos das cordas trabalho em "unidades naturais", onde c é definida como 1 (juntamente com ${\displaystyle \hbar }$ constante de Planck e constante G de Newton). Também, em parte por razões históricas, eles usam o "parâmetro de declive" ${\displaystyle \alpha '}$ em vez de T₀. Com estas mudanças, a ação Nambu-Goto torna-se

${\displaystyle {\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}.}$

Estas duas formas são, naturalmente, inteiramente equivalentes: escolher uma sobre a outra é uma questão de convenção e conveniência.

Duas outras formas equivalentes são

${\displaystyle {\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {{\dot {X}}^{2}-{X'}^{2}}},}$

e

${\displaystyle {\mathcal {S}}=-{\frac {1}{4\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma ({\dot {X}}^{2}-{X'}^{2}).}$

Normalmente, a ação Nambu-Goto não descreve a correta física quântica da corda. Para isso, deve ser modificada de uma forma semelhante como a ação de uma partícula ponto. Ela é classicamente igual a menos massa vezes o comprimento invariante no espaço-tempo, mas deve ser substituído por uma expressão quadrática com o mesmo valor clássica. Só então que a física quântica correta é obtida.^[14] Para cordas, a correção analógico é fornecida pela ação Polyakov, que é classicamente equivalente à ação Nambu-Goto, mas dá a teoria quântica correta. É, no entanto, possível desenvolver uma teoria quântica da ação Nambu-Goto no Medidor de cone-de-luz.

Notas

1. A ideia de corda é uma tentativa de generalizar o conceito de partícula puntiforme, como eram consideradas todas as partículas elementares até então conhecidas, em virtude do problema da “singularidade” que decorre de sua dimensão zero (ponto). Em qualquer instante, a configuração de uma corda é uma curva que pode ser aberta ou fechada e, quando a mesma se move através do espaço-tempo, ela varre uma superfície conhecida como folha de universo (“world-sheet”).
2. A métrica induzida é o Tensor métrico definido na sub-variedade matemática, que é calculado a partir do tensor métrico em uma maior variedade em que a sub-variedade é incorporada. Pode ser calculado através da seguinte fórmula:

   ${\displaystyle g_{ab}=\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }g_{\mu \nu }(X^{\alpha })\ }$

Referências

1. Invariância de gauge para particulas e cordas por Gilberto N. Santos Filho e Washington F. Chagas Filho do Departamento de Fisica, Universidade Federal de Sergipe - [1]
2. Lectures on String Theory (2009). «Lectures on String Theory (1.2 The Nambu-Goto Action)» (PDF). University of Cambridge. Consultado em 4 de janeiro de 2014 
3. Corda Bosônica a Temperatura Finita por Wagner Paniago de Souza (Julho de 2002) - [2]
4. Formulações Lagrangianas Alternativas para Supercordas e Supermembranas por W. F. Chagas-Filho, UFRJ, (1992)
5. Lectures for the Copenhagen Summer Symposium por Y. Nambu (1970)
6. The Nobel Prize in Physics 2008
7. Gell-Mann, M.; Lévy, M. (1960), «The axial vector current in beta decay», Il Nuovo Cimento, 16: 705–726, doi:10.1007/BF02859738 
8. Recent Developments in Pseudo-Riemannian Geometry por Dmitri V. Alekseevsky e Helga Baum publicado na "European Mathematical Society" ISBN 978-3-03719-051-7 (2008)
9. [Weisstein, Eric W. - "Pseudo-Riemannian Manifold." em "MathWorld"
10. Kobayashi, S. (1972), Transformation Groups in Differential Geometry, ISBN 3-540-58659-8, Classics in Mathematics, Springer, OCLC 31374337 
11. Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds, ISBN 0-8053-9021-9, Reading, Massachusetts: W.A. Benjamin, Inc. 
12. Nambu-Goto action por Urs Schreiber (2015)
13. Tong, David (Janeiro de 2009). «String Theory | University of Cambridge Part III Mathematical Tripos» (PDF). Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics, - Centre for Mathematical Sciences, Wilberforce Road, - Cambridge 
14. Veja capitulo 19 do livro didático padrão de Kleinert em Integrais Caminho na Mecânica Quântica, Estatística, Física de Polímeros e Mercados Financeiros, 5 ª edição, World Scientific (Singapore, 2009) (also available online)