Cardinal Woodin

Na teoria dos conjuntos, um cardinal Woodin (nomeado em homenagem ao matemático, William Hugh Woodin^{[nota 1]}) é um número cardinal λ tal que para todas as funções:

f : λ → λ

existe um cardinal κ < λ com

{f(β)|β < κ} ⊆ κ

e uma incorporação elementar^{[nota 2]}

j : V → M

a partir de V em um modelo interno transitivo M com o ponto crítico κ e

V_j(f)(κ) ⊆ M.

Uma definição equivalente é a seguinte: λ é Woodin se e apenas se λ é altamente inacessível e para todos ${\displaystyle A\subseteq V_{\lambda }}$ onde existe um ${\displaystyle \lambda _{A}}$ < λ que é ${\displaystyle <\lambda }$-${\displaystyle A}$-forte.

${\displaystyle \lambda _{A}}$ sendo ${\displaystyle <\lambda }$-${\displaystyle A}$-forte significa que, para todos os ordinais α < λ, existe um ${\displaystyle j:V\to M}$ que é uma incorporação elementar com ponto crítico ${\displaystyle \lambda _{A}}$, ${\displaystyle j(\lambda _{A})>\alpha }$, ${\displaystyle V_{\alpha }\subseteq M}$ e ${\displaystyle j(A)\cap V_{\alpha }=A\cap V_{\alpha }}$.

Um cardinal Woodin é precedido por um conjunto estacionário de cardinais mensuráveis ​​e, portanto, é um cardinal Mahlo.^[1]

Notas e referências

Notas

1. William Hugh Woodin (nascido em 23 de abril de 1955) é um matemático americano e teórico de conjunto da Universidade da Califórnia, Berkeley.
2. Na teoria dos modelos, um campo dentro da lógica matemática, duas estruturas M e N da mesma assinatura σ são chamadas elementaridade equivalente, desde que obedeçam a mesma sentença σ de primeira ordem. Assim, uma incorporação elementar de uma estrutura de N em uma estrutura de M da mesma assinatura σ é um mapa h: N → M tal que para cada fórmula σ de primeira ordem (x₁, …, x_n) e todos os elementos a₁, …, a_n de N,

   N ${\displaystyle \models }$ φ(a₁, …, a_n) implica M ${\displaystyle \models }$ φ(h[a₁], …, h[a_n]).

Referências

1. What is a Woodin Cardinal? por John R. Steel 2007 [[1]]

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