Coeficiente diferencial

Coeficiente diferencial em matemática descreve a alteração na proporção de uma grandeza em relação a alteração de outra grandeza, dependente da primeira. Em análise usa-se o coeficiente diferencial, para cálculo para definir uma função. Em análise numérica são usados para resolver equações diferenciais e para a determinação aproximada da derivada de uma função utilizada.

Definição

Sendo f uma função em ${\displaystyle [x_{0};x_{1}]\subset D_{f}}$, então chamado de quociente

${\displaystyle \varphi (x,x+\Delta x)={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

o quociente da diferença de f no intervalo [x,x+Δx].

Escreve-se

${\displaystyle \!\,\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$.

Resultando na expressão alternativa

${\displaystyle {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

Quociente de diferença geometricamente correspondente a inclinação da secante ao gráfico de ${\displaystyle f}$ que passa pelos pontos ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ e ${\displaystyle (x_{0}+\Delta x,f(x_{0}+\Delta x))}$.

Histórico

Para se referir à derivada, Sylvestre-François Lacroix seguiu as ideias de Gottfried Wilhelm Leibniz e utilizou-se da expressão coeficiente diferencial, apresentando os conceitos de diferença e diferencial, utilizando, como exemplo, de uma função u = ax^3.[1]

Na obra Traité élémentaire de calcul différentiel e de calcul integral (Tratado elementar de cálculo diferencial e integral), Lacroix afirma: "que exprime a relação das mudanças simultâneas da função e da variável, tomará o nome de coeficiente diferencial, porque a quantidade quando ela representa não é outra coisa senão o multiplicador da diferencial dx na expressão da diferencial du. Segue-se daqui, que o limite da relação dos aumentos ou o coeficiente diferencial da função se obterá dividindo a diferencial da função pela diferencial da variável, e reciprocamente obter-se-á o diferencial multiplicando o limite da relação dos aumentos, ou o coeficiente diferencial pela diferencial da variável."^[1][2]

Referências

1. Gabriel Loureiro de Lima; O Ensino de Cálculo Diferencial e Integral no Brasil entre 1810 e 1934: os cursos das escolas militares do Rio de Janeiro e da Escola Politécnica de São Paulo; Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática; Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP - www2.rc.unesp.br
2. LACROIX, Sylvestre François. Traité élémentaire de calcul différentiel e de calcul integral. Paris: Gauthier-Villars, 1867. :Primeiro volume, Segundo volume

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