Conversor Ćuk

Conversor Ćuk.

O conversor Ćuk ou regulador Ćuk é um conversor CC/CC que fornece uma tensão de saída que é menor ou maior que a tensão de entrada, mas a polaridade da tensão de saída é oposta à da tensão de entrada ^[1]. Além disso, o circuito tem baixas perdas de chaveamento e eficiência elevada. Esse circuito requer um capacitor e um indutor adicionais em relação ao conversor Buck-Boost.^[2]

O conversor Ćuk baseia-se na transferência de energia do capacitor, tal particularidade se deve à característica de fonte de corrente tanto em sua entrada quanto em sua saída. A característica de fonte de corrente se deve ao indutor em série com sua entrada ou saída.

Como o conversor Ćuk possui característica de fonte de corrente em sua entrada e em sua saída, é necessário o desacoplamento entre a entrada e a saída do conversor Ćuk, que neste caso é feito pelo capacitor. Em linhas gerais, durante a operação do conversor Ćuk, não há uma transferência de energia direta entre a entrada e a saída do conversor. Sendo assim, o capacitor tem o objetivo de armazenar a energia da fonte e transferi-la para a saída. Esta característica define o conversor Ćuk como um conversor acumulador de energia capacitiva. ^[3]

Resumo das equações

O quadro a seguir contém algumas das equações do conversor Ćuk no MCC.

Equações do conversor Ćuk

Variável	Equação
Ganho estático	${\displaystyle G={\frac {D}{1-D}}}$
Corrente média do indutor ${\displaystyle L_{1}}$	${\displaystyle I_{L_{1}}=I_{in}}$
Corrente média do indutor ${\displaystyle L_{2}}$	${\displaystyle I_{L_{2}}=I_{o}}$
Ondulação de corrente do indutor ${\displaystyle L_{1}}$	${\displaystyle \Delta I_{L_{1}}={\frac {V_{S}}{L_{1}}}DT_{s}={\frac {V_{S}-V_{C}}{L_{1}}}(1-D)T_{s}}$
Ondulação de corrente do indutor ${\displaystyle L_{2}}$	${\displaystyle \Delta I_{L_{2}}={\frac {V_{C}-V_{o}}{L_{2}}}DT_{s}={\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)T_{s}}$
Ondulação de tensão no capacitor de acoplamento ${\displaystyle C}$	${\displaystyle \Delta V_{C}={\frac {V_{o}D}{RCf_{s}}}}$
Ondulação de tensão no capacitor de saída ${\displaystyle C_{o}}$	${\displaystyle \Delta V_{o}={\frac {(V_{C}-V_{o})D}{8L_{2}C_{o}{f_{s}}^{2}}}={\frac {V_{o}(1-D)}{8L_{2}C_{o}{f_{s}}^{2}}}}$
Corrente média na chave	${\displaystyle I_{S_{W}}=I_{o}{\frac {D}{1-D}}=I_{in}}$
Corrente média na diodo	${\displaystyle I_{D}=I_{o}}$

Conversor Ćuk no Modo de Condução Contínua (MCC)

O conversor Ćuk no MCC (Modo de Condução Contínua), assim como outros conversores CC-CC tradicionais, opera em duas etapas. A primeira esta consiste no período em que a chave está fechada, enquanto a segunda etapa corresponde ao período em que a chave está aberta.^[4]

Para motivos da análise pode ser interessante definir as relações mostradas a seguir:

${\displaystyle t_{on}=DT_{s}}$

e

${\displaystyle t_{off}=(1-D)T_{s}=D'T_{s}}$

Em que ${\displaystyle D}$ representa a razão cíclica. A razão cíclica normalmente assume valores entre 0 e 1. ${\displaystyle T_{s}}$ é o período da frequência de chaveamento (${\displaystyle f_{s}}$) que corresponde à

${\displaystyle T_{s}={\frac {1}{f_{s}}}}$

Primeira etapa de operação

Primeira etapa de operação do conversor Ćuk

Durante a primeira etapa de operação, há a magnetização dos indutores ${\displaystyle L_{1}}$ e ${\displaystyle L_{2}}$. Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões, é possível encontrar que, o indutor ${\displaystyle L_{1}}$ é magnetizado pela tensão de entrada

${\displaystyle L_{1}{\frac {di_{L_{1}}}{dt}}=V_{S}}$

e o indutor ${\displaystyle L_{2}}$ é magnetizado pela diferença de tensão entre a tensão no capacitor ${\displaystyle C}$ e a tensão de saída.

${\displaystyle L_{2}{\frac {di_{L_{2}}}{dt}}=V_{C}-V_{o}}$

Pelas equações anteriores é possivel encontrar a corrente dos indutores. A corrente instantânea dos indutores podem ser dadas por:

${\displaystyle i_{L_{1}}(t)={\frac {V_{S}}{L_{1}}}t+I_{L_{1min}}}$

${\displaystyle i_{L_{2}}(t)={\frac {(V_{C}-V_{o})}{L_{2}}}t+I_{L_{2min}}}$

Pelas equações das correntes nos indutores, é possivel determinar a ondulação de correntes ou ripple nos mesmos, pois a corrente cresce linearmente de seu valor mínimo (${\displaystyle I_{L_{min}}}$) até seu valor máximo (${\displaystyle I_{L_{max}}}$). O valor máximo é atingido no tempo ${\displaystyle t=DT_{s}}$.

${\displaystyle \Delta I_{L_{1}}=I_{L_{1max}}-I_{L_{1min}}={\frac {V_{S}}{L_{1}}}DT_{s}}$

${\displaystyle \Delta I_{L_{2}}=I_{L_{2max}}-I_{L_{2min}}{\frac {(V_{C}-V_{o})}{L_{2}}}DT_{s}}$

Durante a primeira etapa, o capacitor de acoplamento ${\displaystyle C}$ é descarregado, transferindo sua energia ao indutor ${\displaystyle L_{2}}$, sendo assim pode-se escrever a corrente no capacitor ${\displaystyle C}$ como:

${\displaystyle C{\frac {dv_{C}}{dt}}=-i_{L_{2}}(t)}$

Por sua vez, a corrente no capacitor de saída ${\displaystyle C_{o}}$ pode ser dada por:

${\displaystyle C_{o}{\frac {dv_{o}}{dt}}=i_{L_{2}}(t)-I_{o}}$

A equação da corrente no capacitor ${\displaystyle C_{o}}$ mostra que sua corrente é igual à corrente do indutor ${\displaystyle L_{2}}$ subtraída de seu valor médio, ou ainda, há apenas a circulação do ripple da corrente do indutor no capacitor.

Segunda etapa de operação

Segunda etapa de operação do conversor Ćuk

A segunda etapa de operação do conversor Ćuk consiste no período em que a chave está aberta ${\displaystyle (1-D)T_{s}}$, que ocasiona a polarização direta do diodo. Durante a segunda etapa há a desmagnetização dos indutores. Na segunda etapa, o indutor ${\displaystyle L_{1}}$ é desmagnetizado com a diferença da tensão entre a entrada e tensão do capacitor ${\displaystyle C}$.

${\displaystyle L_{1}{\frac {di_{L_{1}}}{dt}}=V_{S}-V_{C}}$

Já o indutor ${\displaystyle L_{2}}$ é desmagnetizado pela tensão de saída.

${\displaystyle L_{2}{\frac {di_{L_{2}}}{dt}}=-V_{o}}$

Sendo assim, a corrente dos indutores pode ser escrita como:

${\displaystyle i_{L_{1}}(t)={\frac {(V_{S}-V_{C})}{L_{1}}}t+I_{L_{1max}}}$

${\displaystyle i_{L_{2}}(t)=-{\frac {V_{o}}{L_{2}}}t+I_{L_{2max}}}$

Ao término da segunda etapa, a corrente dos indutores atinge o valor mínimo em ${\displaystyle t=(1-D)T_{s}}$, portanto pode-se escrever

${\displaystyle I_{L_{1min}}=-{\frac {(V_{S}-V_{C})}{L_{1}}}(1-D)T_{s}+I_{L_{1max}}}$ ${\displaystyle I_{L_{2min}}=-{\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)T_{s}+I_{L_{2max}}}$

Por meio das equações acima, também é possível determinar as ondulações de corrente nos indutores, sendo:

${\displaystyle \Delta I_{L_{1}}=I_{L_{1max}}-I_{L_{1min}}={\frac {(V_{S}-V_{C})}{L_{1}}}(1-D)T_{s}}$

${\displaystyle \Delta I_{L_{2}}=I_{L_{2max}}-I_{L_{2min}}=-{\frac {V_{o}}{L_{1}}}(1-D)T_{s}}$

Em relação aos capacitores, durante a segunda etapa, a corrente no capacitor ${\displaystyle C}$ pode ser descrita como:

${\displaystyle C{\frac {dv_{C}}{dt}}=i_{L_{1}}(t)}$

Por sua vez, a expressão da corrente no capacitor ${\displaystyle C_{o}}$ é a mesma vista na primeira etapa.

${\displaystyle C_{o}{\frac {dv_{o}}{dt}}=i_{L_{2}}(t)-I_{o}}$

Ganho estático, tensões e correntes médias

Antes de prosseguir com os demais itens, é necessário determinar a tensão média no capacitor de acoplamento, o capacitor ${\displaystyle C}$. O valor de tensão média neste componente pode ser encontrado através da lei de Kirchhoff das tensões, sendo aplicada à malha externa, a malha que envolve os indutores e o capacitor de saída, como destacado na figura.

Ilustração da malha para a obtenção da tensão média no capacitor C

Pela análise, encontra-se a seguinte soma das tensões:

${\displaystyle -V_{S}+V_{L_{1}}+V_{C}-V_{L_{2}}-V_{o}=0}$

Sendo assim, sabendo que a tensão média em regime permanente dos indutores é nula, a tensão média em ${\displaystyle C}$ para o regime permanente pode ser dada por:

${\displaystyle V_{C}=V_{S}+V_{o}}$

O ganho estático do conversor Ćuk pode ser encontrado pela relação de tensão média no indutor, pois a tensão média no indutor em regime permanente é nula, desta forma pode-se escrever: ^[5][4]

${\displaystyle V_{L_{1}}={\frac {1}{T_{s}}}\left(\int _{0}^{DT_{s}}V_{S}\,dt+\int _{0}^{(1-D)T_{s}}(V_{S}-V_{C})\,dt\right)=0}$
${\displaystyle V_{L_{1}}=(V_{S})D+(V_{S}-V_{C})(1-D)=0}$

Substituindo ${\displaystyle V_{C}}$ e rearranjando-se os termos encontra-se o ganho estático.

${\displaystyle G={\frac {V_{o}}{V_{S}}}={\frac {D}{1-D}}}$

O ganho estático também pode ser obtido do mesmo modo através da relação de tensão no inditor ${\displaystyle L_{2}}$.

Dada a característica de fonte de corrente na entrada do conversor Cuk, ou seja um indutor em séria com a entrada, a corrente no indutor ${\displaystyle L_{1}}$ é a própria corrente média de entrada.

${\displaystyle I_{L_{1}}=I_{in}}$

Já a corrente média no indutor ${\displaystyle L_{2}}$, corresponde à própria corrente média de saída. ^[4]

${\displaystyle I_{L}=I_{o}={\frac {V_{o}}{R}}}$

A corrente média no diodo (${\displaystyle I_{D}}$) pode ser encontrada através de sua integral:

${\displaystyle I_{D}={\frac {1}{T_{s}}}\int _{0}^{(1-D)T_{s}}i_{L_{1}}(t)+i_{L_{2}}(t)\,dt}$

${\displaystyle I_{D}={\frac {1}{2}}{\frac {(V_{S}-V_{C})}{L_{1}}}(1-D)^{2}T_{s}+I_{L_{1max}}(1-D)-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)^{2}T_{s}+I_{L_{2max}}(1-D)}$

${\displaystyle I_{D}={\frac {1}{2}}{\frac {(V_{S}-V_{C})}{L_{1}}}(1-D)^{2}T_{s}+\left(I_{L_{1}}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)(1-D)-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)^{2}T_{s}+\left(I_{L_{2}}+{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)(1-D)}$

É possível simplificar a equação substituindo ${\displaystyle V_{C}=V_{S}+V_{o}}$ e deixar em função da ondulação de corrente (${\displaystyle \Delta I_{L}}$), deste modo encontra-se:

${\displaystyle I_{D}={\frac {1}{2}}{\frac {(-V_{o})}{L_{1}}}(1-D)^{2}T_{s}+\left(I_{L_{1}}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)(1-D)-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)^{2}T_{s}+\left(I_{L_{2}}+{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)(1-D)}$

${\displaystyle I_{D}=-{\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{1}}(1-D)+\left(I_{L_{1}}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)(1-D)-{\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{2}}(1-D)+\left(I_{L_{2}}+{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)(1-D)}$

${\displaystyle I_{D}=(I_{L_{1}}+I_{L_{2}})(1-D)=(I_{in}+I_{o})(1-D)}$

${\displaystyle I_{D}=\left(I_{o}{\frac {D}{1-D}}+I_{o}\right)(1-D)}$

${\displaystyle I_{D}=I_{o}}$

A corrente média na chave (${\displaystyle I_{sw}}$) também pode ser encontrada pela sua integral:

${\displaystyle I_{S_{W}}={\frac {1}{T_{s}}}\int _{0}^{DT_{s}}i_{L_{1}}(t)+i_{L_{2}}(t)\,dt}$

${\displaystyle I_{S_{W}}={\frac {1}{2}}{\frac {V_{S}}{L_{1}}}D^{2}T_{s}+I_{L_{1_{min}}}D+{\frac {1}{2}}{\frac {(V_{C}-V_{o})}{L_{2}}}D^{2}T_{s}+I_{L_{2_{min}}}D}$

${\displaystyle I_{S_{W}}={\frac {1}{2}}{\frac {V_{S}}{L_{1}}}D^{2}T_{s}+\left(I_{L_{1}}-{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)D-{\frac {1}{2}}{\frac {(V_{C}-V_{o})}{L_{2}}}D^{2}T_{s}+\left(I_{L_{2}}-{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)D}$

De forma semelhante à realizada para a corrente média no diodo, fazendo as substituições dos termos, deixando em função da ondulção de corrente (${\displaystyle \Delta I_{L}}$), a corrente média na chave pode ser dada por:

${\displaystyle I_{S_{W}}={\frac {1}{2}}{\frac {V_{S}}{L_{1}}}D^{2}T_{s}+\left(I_{L_{1}}-{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)D-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{S}}{L_{2}}}D^{2}T_{s}+\left(I_{L_{2}}-{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)D}$

${\displaystyle I_{S_{W}}={\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{1}}D+\left(I_{L_{1}}-{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)D+{\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{2}}D+\left(I_{L_{2}}-{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)D}$

${\displaystyle I_{S_{W}}=(I_{L_{1}}+I_{L_{2}})D=(I_{in}+I_{o})(D}$

${\displaystyle I_{S_{W}}=\left(I_{o}{\frac {D}{1-D}}+I_{o}\right)D}$

${\displaystyle I_{S_{W}}=I_{o}{\frac {D}{1-D}}=I_{in}}$

A ondulação de tensão no capacitor de acoplamento pode ser encontrada por meio da variação de carga no capacitor. A variação pode ser determinada através da integral da corrente durante uma das etapa, neste caso optou-se pela segunda etapa, sendo assim a corrente no capacitor é igual à corrente ${\displaystyle i_{L_{1}}}$.

${\displaystyle \Delta Q_{C}=\int _{0}^{(1-D)T_{s}}i_{L_{1}}(t)\,dt}$

${\displaystyle \Delta Q_{C}={\frac {1}{2}}{\frac {(V_{S}-V_{C})}{L_{1}}}(1-D)^{2}{T_{s}}^{2}+I_{L_{1_{max}}}(1-D)T_{s}={\frac {1}{2}}{\frac {(-V_{o})}{L_{1}}}(1-D)^{2}{T_{s}}^{2}+\left(I_{L_{1}}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)(1-D)T_{s}}$

${\displaystyle \Delta Q_{C}=-{\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{1}}(1-D)T_{s}+I_{L_{1}}(1-D)T_{s}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}(1-D)T_{s}}$

${\displaystyle \Delta Q_{C}=I_{L_{1}}(1-D)T_{s}}$

A plicando na equação:

${\displaystyle \Delta V_{C}={\frac {\Delta Q_{C}}{C}}}$

${\displaystyle \Delta V_{C}={\frac {I_{L_{1}}(1-D)T_{s}}{C}}={\frac {I_{in}(1-D)T_{s}}{C}}={\frac {I_{o}{\frac {D}{1-D}}(1-D)T_{s}}{C}}}$

${\displaystyle \Delta V_{C}={\frac {I_{o}DT_{s}}{C}}={\frac {V_{o}D}{RCf_{s}}}}$

Por fim, a ondulação de tensão de saída pode ser determinada da mesma forma como feita para o conversor buck. Desta forma, a ondulação da tensão de saída pode ser encontrada realizando a análise para o caso em que considera-se a maior ondulação de tensão. Este caso ocorre quando a razão cíclica se iguala a meio (${\displaystyle D=0,5}$). A corrente no capacitor é ilustrada na figura.

Forma de onda da corrente no capacitor do conversor Buck no MCC com D = 0,5

Neste período se tem que o pico da corrente no capacitor é igual a ${\displaystyle {\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}}$ e o período em que a corrente é positiva no capacitor é igual a ${\displaystyle {\frac {T_{s}}{2}}}$. Sendo assim, a variação de carga no capacitor pode ser dada pela área do gráfico em destaque. Pela área do triângulo obtém-se:

${\displaystyle \Delta Q={\frac {{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}{\frac {T_{s}}{2}}}{2}}={\frac {\Delta I_{L_{2}}T_{s}}{8}}}$

Portanto pela equação

${\displaystyle \Delta V_{o}={\frac {\Delta Q}{C_{o}}}}$

encontra-se

${\displaystyle \Delta V_{o}={\frac {\Delta I_{L_{2}}T_{s}}{8C_{o}}}}$

substituindo ${\displaystyle \Delta I_{L_{2}}}$: ^[4]

${\displaystyle \Delta V_{o}={\frac {(V_{C}-V_{o})D}{8L_{2}C_{o}{f_{s}}^{2}}}={\frac {V_{o}(1-D)}{8L_{2}C_{o}{f_{s}}^{2}}}}$

Referências

1. Ćuk, Slobodan; Middlebrook, R. D. (8 de junho de 1976). A General Unified Approach to Modelling Switching-Converter Power Stages (PDF). Proceedings of the IEEE Power Electronics Specialists Conference. Cleveland, OH. pp. 73–86. Consultado em 31 de dezembro de 2008 
2. Pereira, Airton Isaac (7 de dezembro de 2017). «Conversor cc-cc de alto ganho baseado no conversor Cuk» 
3. Barbi, Ivo (2006). Conversores CC-CC Básicos Não Isolados. Florianópolis: UFSC - INEP 
4. Hart, Daniel W. (2011). Power electronics. New York, NY: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-338067-4 
5. Erickson, Robert W.; Maksimović, Dragan (2020). Fundamentals of power electronics Third ed. Cham: Springer. ISBN 978-3-030-43881-4  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautores= (ajuda)

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