Em matemática, se definem como ortogonais as coordenadas de um sistema no caso em que os vetores base desse sistema sejam ortogonais (ou normais, ou ainda perpendiculares) entre si.
Dada uma variedade (pseudo)riemanniana , um conjunto aberto do mesmo e um ponto dentro desse conjunto aberto , uma carta local ou "sistema de coordenadas" local pode ser representado por uma função:
Onde d é a dimensão do espaço onde é definido o sistema de coordenadas local. As dcurvas coordenadas Ci(t) e seus vetores tangentes são definidas pelas equações:
O sistema de coordenadas será ortogonal se os vetores tangentes às curvas coordenadas xi são ortogonais, ou seja, se:
Onde g(, ) é o tensor métrico do espaço onde são definidas as coordenadas.
A escolha de um ou outro sistema depende das simetrias do problema geométrico ou físico levantado. Como são todos estes sistemas de coordenas ortogonais neles o tensor métrico tem a forma:
De onde os três componentes não nulos são os chamados fatores de escala, que são funções das três coordenadas.
As coordenadas usadas na teoria da relatividade geral são o exemplo físico mais conhecido de sistemas de coordenadas sobre um espaço globalmente não euclidiano. Em um espaço-tempo estático sempre é possível escolher ao redor de qualquer ponto do espaço-tempo um sistema de coordenadas ortogonal.[2]
Referências
↑C.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler, Gravitation;;Freeman, 1973.