Cálculo de Ricci

Em matemática, o cálculo de Ricci constitui as regras da notação de índice e manipulação de tensores e campos tensoriais.^[1][2][3] Também é o nome moderno para o que costumava ser chamado de cálculo diferencial absoluto (a base do cálculo tensorial), desenvolvido por Gregorio Ricci-Curbastro em 1887-1896, e posteriormente popularizado em um artigo ^[4] escrito com seu pupilo Tullio Levi-Civita em 1900. Jan Arnoldus Schouten desenvolveu a notação moderna e o formalismo para esta estrutura matemática, e fez contribuições com a teoria, durante suas aplicações à relatividade geral e geometria diferencial no início do século XX.^[5]

Partes simétricas e anti-simétricas

Parte simétrica do tensor

Parênteses, ( ), em torno de vários índices denota a parte simetrizada do tensor. Ao simetrizar índices p usando σ para variar sobre as permutações dos números 1 a p, obtém-se uma soma sobre as permutações desses índices α_σ(i) por i = 1, 2, 3, …, p, e então divide pelo número de permutações:

${\displaystyle A_{(\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p})\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\,.}$

Por exemplo, dois índices de simetrização significam que há dois índices para permutar e somar:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

enquanto para três índices de simetrização, existem três índices para somar e permutar:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

A simetrização é distributiva em relação à adição;

${\displaystyle A_{(\alpha }\left(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots }\right)=A_{(\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots }}$

Os índices não fazem parte da simetrização quando são:

• não no mesmo nível, por exemplo;

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }+A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• entre parênteses e entre as barras verticais (ou seja, |⋅⋅⋅|), modificando o exemplo anterior;

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

Aqui os índices α e γ são simetrizados, β não.

Parte anti-simétrica ou alternada do tensor

Colchetes, [ ], em torno de vários índices denota a parte anti-simetrizada do tensor. Para índices p anti-simetrizantes - a soma das permutações desses índices α_σ(i) multiplicado pela assinatura da permutação sgn(σ) é tomado, então dividido pelo número de permutações:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]={}&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\={}&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned}}}$

onde δβ₁⋅⋅⋅β_p
α₁⋅⋅⋅α_p é o delta de Kronecker generalizado de grau 2p, com escala conforme definido abaixo.

Por exemplo, dois índices anti-simetrizantes implicam:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

enquanto três índices anti-simetrizantes implicam:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

como para um exemplo mais específico, se F representa o tensor eletromagnético, então a equação

${\displaystyle 0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha }\right)\,}$

representa a lei de Gauss para o magnetismo e a lei de indução de Faraday.

Como antes, a anti-simetrização é distributiva em relação à adição;

${\displaystyle A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots }\right)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots }}$

Tal como acontece com a simetrização, os índices não são anti-simetrizados quando são:

• não no mesmo nível, por exemplo;

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• dentro dos colchetes e entre as barras verticais (ou seja, |⋅⋅⋅|), modifica o exemplo anterior;

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

  Aqui os índices α e γ são anti-simetrizados, β não.

Soma das partes simétricas e antissimétricas

Qualquer tensor pode ser escrito como a soma de suas partes simétricas e antissimétricas em dois índices:

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }}$

como pode ser visto adicionando as expressões acima para A_{(αβ)γ⋅⋅⋅} e A_{[αβ]γ⋅⋅⋅}. Isso não se aplica a outros índices.

Referências

1. Synge J.L., Schild A. (1949). Tensor Calculus. [S.l.]: first Dover Publications 1978 edition. pp. 6–108 
2. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. [S.l.]: W.H. Freeman & Co. pp. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
3. R. Penrose (2007). The Road to Reality. [S.l.]: Vintage books. ISBN 0-679-77631-1 
4. Ricci, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (março de 1900), «Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications», Springer, Mathematische Annalen (em francês), 54 (1–2): 125–201, doi:10.1007/BF01454201 
5. Schouten, Jan A. (1924). R. Courant, ed. Der Ricci-Kalkül – Eine Einführung in die neueren Methoden und Probleme der mehrdimensionalen Differentialgeometrie (Ricci Calculus – An introduction in the latest methods and problems in multi-dimmensional differential geometry). Col: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (em alemão). 10. Berlin: Springer Verlag