Em matemática, o cálculo de Ricci constitui as regras da notação de índice e manipulação de tensores e campos tensoriais.[1][2][3] Também é o nome moderno para o que costumava ser chamado de cálculo diferencial absoluto (a base do cálculo tensorial), desenvolvido por Gregorio Ricci-Curbastro em 1887-1896, e posteriormente popularizado em um artigo [4] escrito com seu pupilo Tullio Levi-Civita em 1900. Jan Arnoldus Schouten desenvolveu a notação moderna e o formalismo para esta estrutura matemática, e fez contribuições com a teoria, durante suas aplicações à relatividade geral e geometria diferencial no início do século XX.[5]
Parênteses, ( ), em torno de vários índices denota a parte simetrizada do tensor. Ao simetrizar índices p usando σ para variar sobre as permutações dos números 1 a p, obtém-se uma soma sobre as permutações desses índices ασ(i) por i = 1, 2, 3, …, p, e então divide pelo número de permutações:
Por exemplo, dois índices de simetrização significam que há dois índices para permutar e somar:
enquanto para três índices de simetrização, existem três índices para somar e permutar:
A simetrização é distributiva em relação à adição;
Os índices não fazem parte da simetrização quando são:
- não no mesmo nível, por exemplo;
- entre parênteses e entre as barras verticais (ou seja, |⋅⋅⋅|), modificando o exemplo anterior;
Aqui os índices α e γ são simetrizados, β não.
Colchetes, [ ], em torno de vários índices denota a parte anti-simetrizada do tensor. Para índices p anti-simetrizantes - a soma das permutações desses índices ασ(i) multiplicado pela assinatura da permutação sgn(σ) é tomado, então dividido pelo número de permutações:
onde δβ1⋅⋅⋅βp
α1⋅⋅⋅αp é o delta de Kronecker generalizado de grau 2p, com escala conforme definido abaixo.
Por exemplo, dois índices anti-simetrizantes implicam:
enquanto três índices anti-simetrizantes implicam:
como para um exemplo mais específico, se F representa o tensor eletromagnético, então a equação
representa a lei de Gauss para o magnetismo e a lei de indução de Faraday.
Como antes, a anti-simetrização é distributiva em relação à adição;
Tal como acontece com a simetrização, os índices não são anti-simetrizados quando são:
- não no mesmo nível, por exemplo;
- dentro dos colchetes e entre as barras verticais (ou seja, |⋅⋅⋅|), modifica o exemplo anterior;
- Aqui os índices α e γ são anti-simetrizados, β não.
Qualquer tensor pode ser escrito como a soma de suas partes simétricas e antissimétricas em dois índices:
como pode ser visto adicionando as expressões acima para A(αβ)γ⋅⋅⋅ e A[αβ]γ⋅⋅⋅. Isso não se aplica a outros índices.
Referências
- ↑ Synge J.L., Schild A. (1949). Tensor Calculus. [S.l.]: first Dover Publications 1978 edition. pp. 6–108
- ↑ J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. [S.l.]: W.H. Freeman & Co. pp. 85–86, §3.5. ISBN 0-7167-0344-0
- ↑ R. Penrose (2007). The Road to Reality. [S.l.]: Vintage books. ISBN 0-679-77631-1
- ↑ Ricci, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (março de 1900), «Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications», Springer, Mathematische Annalen (em francês), 54 (1–2): 125–201, doi:10.1007/BF01454201
- ↑ Schouten, Jan A. (1924). R. Courant, ed. Der Ricci-Kalkül – Eine Einführung in die neueren Methoden und Probleme der mehrdimensionalen Differentialgeometrie (Ricci Calculus – An introduction in the latest methods and problems in multi-dimmensional differential geometry). Col: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (em alemão). 10. Berlin: Springer Verlag