Desigualdade de Pedoe

Em Geometria, a desigualdade de Pedoe, assim chamada após Daniel Pedoe^[1], afirma que se a, b, e c são as medidas dos lados de um triângulo de área ƒ, e A, B, e C são as medidas dos lados de um triângulo de área F, então

${\displaystyle A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16Ff,\,}$

com a igualdade se e somente se os dois triângulos são semelhantes.^[2]

A expressão à esquerda não é apenas simétrica em qualquer uma das seis permutações sobre o conjunto de pares { (A, a), (B, b), (C, c) }, mas também — talvez não tão obviamente — permanece o mesmo se a é trocado (permutado) com A, b com B, c com  C. Em outras palavras, é uma função simétrica do par de triângulos.

A desigualdade de Pedoe é uma generalização da desigualdade de Weitzenböck e da desigualdade de Hadwiger–Finsler.

Ver também

• Desigualdade de Weitzenböck
• Desigualdade de Hadwiger–Finsler

Referências

1. "A Two-Triangle Inequality", Daniel Pedoe, The American Mathematical Monthly, volume 70, number 9, page 1012, November, 1963.
2. "An Inequality for Two Triangles", D. Pedoe, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, volume 38, part 4, page 397, 1943.

Ligações externas

• Desigualdade de Pedoe

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