Desigualdade de Weyl

Em álgebra linear, Desigualdade de Weyl é um teorema sobre como os autovalores de um matriz hermitiana são perturbados. Esse teorema de 1912 carrega o nome de seu autor Hermann Weyl. Esse resultado é útil se quisermos saber os autovalores da matriz Hermitiana H, mas há uma incerteza sobre as entradas de H.^[1] Este resultado era conhecido no Século 19, mas não foi publicado na íntegra ^[2]

Seja H a matriz exata e P ser uma matriz de perturbação que representa a incerteza. Considere a matriz ${\displaystyle \scriptstyle M\,=\,H\,+\,P}$. Seja M com autovalores ${\displaystyle \mu _{1}\geq \cdots \geq \mu _{n}\,}$, H com autovalores ${\displaystyle \nu _{1}\geq \cdots \geq \nu _{n}\,}$ e P com autovalores ${\displaystyle \rho _{1}\geq \cdots \geq \rho _{n}\,}$

O teorema afirma que se M, H e P são todas matrizes Hermitianas n por n, então a seguinte desigualdade vale para ${\displaystyle \scriptstyle i\,=\,1,\dots ,n}$:

${\displaystyle \nu _{i}+\rho _{n}\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}+\rho _{1}.\,}$

Se P é positiva definida (e.g. ${\displaystyle \scriptstyle \rho _{n}\,>\,0}$) então isso implica que

${\displaystyle \mu _{i}>\nu _{i}\quad \forall i=1,\dots ,n.\,}$

Note que podemos ordenar os autovalores porque as matrizes são Hermitiana e, portanto, os autovalores são reais.

Teoria dos números

Na teoria dos números, a desigualdade de Weyl afirma que se M, N, a e q são inteiros, com a e q co-primo, q > 0, e f é um polinômio real de grau k cujo coeficiente líder c satisfaz

${\displaystyle |c-a/q|\leq tq^{-2},\,}$

para algum t maior ou igual a 1, então para qualquer número ${\displaystyle \scriptstyle \varepsilon }$ real positivo temos

${\displaystyle \sum _{x=M}^{M+N}\exp(2\pi if(x))=O\left(N^{1+\varepsilon }\left({t \over q}+{1 \over N}+{t \over N^{k-1}}+{q \over N^{k}}\right)^{2^{1-k}}\right){\text{ como }}N\to \infty .}$

Essa desigualdade só será útil quando

${\displaystyle q<N^{k},\,}$

pois, de outra forma, estimar o módulo da soma exponencial^{[nota 1]} por meio da desigualdade de triângulo como ${\displaystyle \scriptstyle \leq \,N}$ fornece um melhor limite.

Ver também

• Anexo:Lista de tópicos com o nome de Hermann Weyl

Notas e referências

Notas

1. Uma série de Fourier finita (ou seja, um polinômio trigonométrico), ou outra soma finita formada usando a função exponencial, geralmente expressa por meio da função

   ${\displaystyle e(x)=\exp(2\pi ix).\,}$

Referências

1. Helmut Wielandt, Bertram Huppert & Hans Schneider: Mathematische Werke: Linear algebra and analysis, Walter de Gruyter, 1996, ISBN 9783110124538 S.166
2. Beresford Parlett: The symmetric eigenvalue problem. SIAM 1980, 1998, ISBN 0-13-880047-2, Kapitel 10-3, S.208

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